Función monotónica: definición y ejemplos

Monotonicidad

La monotonicidad de una función nos dice si la función aumenta o disminuye. Una función aumenta cuando su gráfica aumenta de izquierda a derecha. En términos técnicos, una función aumenta en un intervalo I si para cualquier x 1 y x 2 en I , x 1 es menor que x 2 implica que f ( x 1) es menor que f ( x 2). Básicamente, esto dice que cuando x 1 es menor que x 2, entonces la función evaluada en x 1 es menor que la función evaluada en x 2.

Una función disminuye cuando su gráfica cae de izquierda a derecha. Nuevamente, la definición técnica dice que una función es decreciente en un intervalo I si para cualquier x 1 y x 2 en I , x 1 es menor que x 2 implica que f ( x 1) es mayor que f ( x 2). En otras palabras, una función es decreciente en un intervalo I cuando se da el caso de que siempre que x 1 es menor que x 2, f ( x 1) es mayor que f ( x 2).

La monotonicidad de una función está directamente relacionada con la derivada de la función. Una función aumenta cuando su derivada es positiva y una función disminuye cuando su derivada es negativa. Por ejemplo, considere la función f ( x ) = x 2 . La derivada es f ‘( x ) igual a 2 x . Ahora considere dónde 2 x es positivo y negativo.

2 x es mayor que 0.
Divide ambos lados entre 2.
x es mayor que 0.

Por lo tanto, f es positivo cuando x es mayor que 0, por lo que f aumenta en el intervalo x es mayor que 0.

De manera similar, considere dónde 2 x es negativo:

2 x es menor que 0
Divide ambos lados entre 2
x es menor que 0

Por tanto, f ‘es negativo cuando x es menor que 0, y f es decreciente en el intervalo x es menor que 0.

Función montónica

Cuando una función aumenta en todo su dominio o disminuye en todo su dominio, decimos que la función es estrictamente monótona y la llamamos función monótona . Por ejemplo, considere que la función g ( x ) es igual a x 3 :

Observe que la gráfica de g aumenta en todas partes. Por tanto, esta es una función monótona. También podemos observar esto al observar la derivada de g . La derivada de g ( x ) es igual a x 3 es g ‘( x ) es igual a 3 x 2 . Observe que no importa lo que conectemos para x en la derivada, se eleva al cuadrado, lo que la hace positiva. Por lo tanto, la derivada siempre es positiva, por lo que g siempre aumenta. Por tanto, g es una función monótona.

Función no monótona

Para solidificar nuestra comprensión de qué es una función monótona, consideremos qué es una función no monótona. Una función no monótona es una función que aumenta y disminuye en diferentes intervalos de su dominio.

Por ejemplo, considere nuestro ejemplo inicial f ( x ) es igual a x 2 . Vimos que esta función aumenta en el intervalo x es mayor que 0, y que disminuye en el intervalo x es menor que 0. Dado que la función aumenta y disminuye en diferentes intervalos de su dominio, la función es una función no monótona. Básicamente, si una función no aumenta en todo su dominio ni disminuye en todo su dominio, entonces la función no es monótona y decimos que no es monótona.

Ejemplos

1.) Considere la función h . ¿Es esta función monótona?

Solución: observe que la función siempre desciende de izquierda a derecha. Por tanto, la función disminuye en todo su dominio. Esto nos dice que la función es monótona.

2.) Considere que la función r ( x ) es igual a e x . ¿Es esta función monótona?

Solución: Esta función es interesante, porque su derivada es la misma que la función. Es decir, la derivada de r ( x ) es igual a e x es r ‘( x ) es igual a e x . Observe que, en la gráfica, e x es siempre positivo (siempre se encuentra por encima del eje y ). Por tanto, la derivada de r siempre es positiva. Esto nos dice que r siempre está aumentando (lo que también se puede observar en su gráfica). Por tanto, r es una función monótona.

Resumen de la lección

Una función creciente es una función que se eleva de izquierda a derecha. De manera similar, una función decreciente es una función que cae de izquierda a derecha. La monotonicidad de una función se refiere a si la función aumenta o disminuye. Cuando una función aumenta en todo su dominio o disminuye en todo su dominio, decimos que la función es monótona .

Podemos determinar si una función es monótona observando su gráfica, o podemos verificar su derivada. Una función aumenta cuando su derivada es positiva y disminuye cuando su derivada es negativa.

Términos clave

Monotonicidad : propiedad de una función que determina si la función aumenta o disminuye

Aumento : cuando el gráfico de una función aumenta de izquierda a derecha

Decreciente : cuando el gráfico de una función cae de izquierda a derecha

Estrictamente monótona : cuando una función aumenta en todo su dominio o disminuye en todo su dominio

Función monotónica: una función que se grafica como estrictamente monótona

Función no monótona : una función que aumenta y disminuye en diferentes intervalos de su dominio.

Los resultados del aprendizaje

La conclusión de la lección en video podría corresponder con su capacidad para:

• Definir monotonicidad
• Evaluar si una función tiene monotonicidad creciente o decreciente
• Revise los gráficos para determinar si la función representada es monótona o no monótona

Rodrigo Ricardo Editor y fundador