Encontrar asíntotas inclinadas de funciones racionales

Funciones racionales

A medida que profundice más y más en el mundo de las matemáticas, encontrará funciones que producen gráficos de aspecto muy interesante. Cuando comenzó, sus gráficos consistían en líneas rectas y curvas simples. Pero ahora has aprendido sobre funciones racionales, que son funciones compuestas por la división de dos polinomios. Esto significa que sus gráficos ahora constan de varias curvas. También tienes líneas invisibles que dividen tus curvas. Estas líneas invisibles que dividen sus curvas se denominan asíntotas. Recuerde que, para encontrar sus asíntotas verticales, encuentre en qué puntos su denominador es igual a 0. Para encontrar sus asíntotas horizontales, observe los grados de sus polinomios numerador y denominador. Si el grado de su polinomio denominador es mayor que el grado de su polinomio numerador, entonces su asíntota horizontal es y = 0. Si los grados son iguales, entonces su asíntota horizontal es la división de los coeficientes principales. Por ejemplo, observe estas dos funciones racionales.

1. f (x) = x / x ^ 2

2. f (x) = 2x ^ 4 – 3x ^ 2 / 3x ^ 4 + 5x – 9

La primera función racional tiene una asíntota horizontal de y = 0 porque el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador. Además, esta función tiene una asíntota vertical de x = 0 porque, si igualamos el denominador a 0 y resolvemos, obtendremos x = 0. La segunda función racional tiene una asíntota horizontal de y = 2/3 porque el grado de tanto el polinomio del numerador como del denominador son iguales. Obtuvimos y = 2/3 aislando el coeficiente principal del polinomio del numerador y el coeficiente principal del polinomio del denominador.

Sabemos cómo encontrar asíntotas verticales y horizontales. Pero, ¿qué sucede cuando el grado de nuestro polinomio numerador es mayor que el grado de nuestro polinomio denominador en 1? Por ejemplo, si ve una función como esta.

y = x ^ 2 + 3x +2 / x – 2

¿Qué pasa entonces? Obtenemos lo que se llama una asíntota inclinada , una asíntota que no es ni horizontal ni vertical sino inclinada.

Encontrar la asíntota inclinada

Sabe por su conocimiento previo de las gráficas que una línea recta inclinada tendrá una ecuación en la forma de y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y. La pregunta ahora es, ¿cómo encuentra esta asíntota inclinada y su ecuación a partir de su función racional?

Resulta que es un proceso bastante sencillo. Requiere que sepa cómo dividir polinomios. Para encontrar una asíntota inclinada cuando el grado del polinomio del numerador es exactamente uno más que el grado del polinomio del denominador, es necesario realizar la división que muestra la función racional. La asíntota oblicua es entonces su respuesta, sin incluir el resto si lo hay. Recuerda que dividir polinomios es muy similar a dividir números grandes. Tomamos cada término con su coeficiente y variable y lo tratamos como un valor posicional al dividir números. Por ejemplo, la constante se trata como el lugar de las unidades, el término con la variable x se trata como el lugar de las decenas, el término con la variable x ^ 2 se trata como el lugar de las centenas, y así sucesivamente.

Veamos un par de ejemplos para ver esta división polinomial en acción.

Ejemplo 1

Encuentre la asíntota inclinada de esta función racional.

f (x) = x ^ 3 – 5x / x ^ 2 + 1

Primero, vemos que el grado del polinomio del numerador es uno más que el grado del polinomio del denominador. Entonces, para encontrar la asíntota inclinada, necesitamos realizar la división. También vemos que al numerador le faltan los términos x ^ 2 y constantes, así que cuando hagamos la división, nos aseguraremos de poner ceros para esos términos. Al denominador le falta un término x, por lo que también pondremos un cero para ese término. Realizando la división polinomial, obtenemos esto:

x ^ 3 + 0x ^ 2 – 5x + 0 dividido por x ^ 2 + 0x +1

Reste el primer resultado (x ^ 3 + 0x ^ 2 + x)

Es igual a -6x + 0 R

Nuestra respuesta es x con un resto de -6x. Nuestra asíntota inclinada es la respuesta sin la parte restante, por lo que y = x es nuestra asíntota inclinada.

Ejemplo 2

Veamos un ejemplo más. Encuentre la asíntota inclinada de esta función racional:

f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-9 / 3 – x ^ 2

Esta función racional también hace que el grado del polinomio del numerador sea uno mayor que el grado del polinomio del denominador. También notamos que a los polinomios del numerador y al denominador les falta el término x, por lo que cuando dividimos para encontrar la asíntota inclinada, necesitaremos incluir un término 0x. También notamos que el denominador no está escrito con nuestros términos en orden, por lo que cuando avancemos y dividimos, nos aseguraremos de escribir primero el término x ^ 2, luego el término x y luego la constante. Siguiendo adelante con la división, obtenemos esto:

2x ^ 3 + 4x ^ 2 + 0x – 9 dividido por -x ^ 2 + 0x +3

Reste nuestro primer resultado (2x ^ 3 + 0x ^ 2 – 6x)

Nos da 4x ^ 2 + 6x – 9

Reste nuestro segundo resultado (4x ^ 2 + 0x – 12)

Nos da 6x + 3

Nuestra respuesta es -2x – 4 con un residuo de 6x + 3. ¿Recuerdas cuál es tu asíntota inclinada? Sí, la respuesta sin el resto. Entonces, la asíntota inclinada es y = -2x – 4.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. Las funciones racionales son funciones compuestas por la división de dos polinomios. Cuando el grado del polinomio del numerador es uno más que el grado del polinomio del denominador, tendremos una asíntota inclinada , una asíntota inclinada, además de cualquier asíntota horizontal o vertical. Para encontrar cuál es esta asíntota inclinada, realizamos la división que se muestra en la función. Nuestra asíntota inclinada es la respuesta sin la parte restante.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, debería poder:

• Definir función racional y asíntota inclinada
• Explica cómo encontrar la asíntota inclinada.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador