¿Las leyes de los senos?
Justo cuando tenías el Teorema de Pitágoras, te plantean un nuevo problema. Ya no estás trabajando con triángulos rectángulos. En cuanto al Teorema de Pitágoras, bueno, no está fuera de la ventana, pero necesitarás una nueva herramienta.
La ley de los senos o la regla del seno dice que la razón entre cualquier lado y el seno del ángulo opuesto en un triángulo dado será la misma para los tres lados. Eso significa que si tienes suficiente información, puedes calcular la longitud de cualquier lado o ángulo del triángulo, sin usar el Teorema de Pitágoras.
Para usar la Ley de los senos, debes poder determinar la relación, lo que significa que necesitas al menos un ángulo, un lado opuesto y otro ángulo o lado. Si tiene dos ángulos, siempre puede calcular el tercero.
¿Qué es el seno de un ángulo?
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Recuerda, en un triángulo rectángulo (un triángulo que tiene un ángulo de 90 grados) obtienes el seno de uno de los ángulos dividiendo la longitud del lado opuesto por la hipotenusa.
Entonces, en el triángulo rectángulo que se muestra en la imagen, el seno del ángulo marcado con ‘A’ sería el número que obtendría si divide la longitud de ‘a’ (‘Opuesto’) por la longitud de ‘c’ (‘Hipotenusa’). El seno del ángulo A se puede escribir ‘sin A’.
Cada ángulo tiene un valor de seno y es el mismo sin importar cómo se vea el resto del triángulo. Eso significa que usted (o una calculadora) puede buscar el valor del seno para cualquier ángulo. El seno de un ángulo de 30 grados siempre será .5, sin importar en qué triángulo se encuentre.
Practica el uso de la regla del seno
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En el ‘Triángulo 1’ anterior, la regla del seno dice que la razón entre el seno del ángulo A y la longitud del lado a será la misma que la razón entre sen B y bo sin C y c. Entonces, el seno del ángulo rosado dividido por el lado rosado será el mismo que el seno del ángulo azul a la longitud del lado azul.
Entonces hagamos un ejemplo. Supongamos que quiere poner una cerca para mirar un terreno triangular. Un lado (de W a N) tiene 250 pies de largo. La segunda longitud (N a E) es de 300 pies. El ángulo entre el lado de 300 pies y el lado que no conoce (lado x ) es de 40 grados (vea la imagen del ‘Triángulo de la tierra’). Necesitas la longitud del tercer lado.
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Bueno, ya sabes que las relaciones entre el seno de cada ángulo interior y la longitud del lado opuesto serán las mismas, por lo que debes averiguar cuál es esa relación. El ángulo de 40 grados está frente al lado de 250 pies, por lo que puede usar esos dos valores para determinar la relación. La razón será la misma para las tres esquinas de este triángulo, por lo que podemos expresar las tres esquinas en una expresión de igualdad.
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Ahora es una cuestión de álgebra. Una vez que resolvemos el seno del ángulo, podemos tomar el arco-seno (otra función en tu calculadora) para volver al ángulo original.
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Ahora, si conoces tus triángulos, sabes que el total de los tres ángulos tiene que ser de 180 grados, por lo que podemos obtener el tercer ángulo simplemente restando los dos que conocemos de ese 180. Esto dejará un ángulo de 101.62 grados. en N.
Un poco más de álgebra y este problema estará terminado.
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Entonces necesitas un poco más de 356 pies de multa para el tercer lado.
La ley de los cosenos
La ley de los cosenos o regla del coseno es una forma ajustada del teorema de Pitágoras. Recuerde, el Teorema de Pitágoras nos dijo que el cuadrado de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90 grados) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Bueno, la Ley de los cosenos se parece mucho a eso, solo que con un giro al final, ya que no estás usando un ángulo de 90 grados.
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La ley de los cosenos es excelente para cualquier situación en la que conozca las longitudes de dos lados de un triángulo, más el ángulo entre ellos, así que veamos una situación como esa.
Digamos, por ejemplo, que está parado en la cima de una montaña y necesita saber cuánto tiempo debe atravesar el túnel por la base. La distancia desde la cima hasta la entrada oeste es de 6.5 millas. La distancia desde la parte superior hasta la entrada este es de 7.5 millas. El ángulo entre ellos es de 70 grados.
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Esta situación es perfecta para la regla del coseno porque conocemos las longitudes de los lados y el ángulo entre ellos. Entonces, todo lo que tenemos que hacer es buscar el coseno del ángulo y luego agregar todos los números.
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La longitud del túnel será de poco más de ocho millas.
Resumen de la lección
La ley de los senos o la regla del seno establece que en cualquier triángulo la razón entre el seno del ángulo y la longitud del lado opuesto será la misma para los tres ángulos. Cada relación (el seno del ángulo y la longitud del lado opuesto) coincidirá. Esto nos da una forma de resolver los lados y los ángulos de cualquier triángulo.
La ley de los cosenos o regla del coseno es una forma modificada del teorema de Pitágoras y nos permite calcular la longitud de un lado cuando conocemos los otros dos lados y el ángulo opuesto. Ambas son herramientas poderosas para su caja de herramientas de cálculo de triángulos.
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