Aplicación de problemas de práctica de operaciones con funciones

Operaciones de función

Cuando se trata de funciones en álgebra, lo más importante que hay que saber son el dominio y el rango, las operaciones de funciones, las funciones inversas y la composición de funciones. Si bien es posible aprender estas cosas por separado, es muy fácil combinar estos temas en un solo problema. Esto brinda una buena oportunidad para revisar y aplicar su conocimiento de funciones, pero también genera algunos problemas bastante confusos. El objetivo de este video será resumir su conocimiento de funciones y darle algo de práctica con estas preguntas complejas.

Ejemplo 1

Primero, echemos un vistazo a un giro en la composición de funciones. En lugar de proporcionar la función algebraica, es posible que le den una gráfica de la función, tal vez así. El hecho de que la información se presente de manera diferente no significa que no podamos responder el mismo tipo de preguntas: tal vez encontrar g ( g (2)), por ejemplo.

El ejemplo 1 implica una pregunta de composición de funciones

Esta es una cuestión de composición de funciones porque estamos sustituyendo una función por otra; en este caso, una función en sí misma. Comencemos revisando el interior de esta función, g (2), y usando la gráfica para encontrar esta información. En este caso, parece que cuando conectamos x = 2 en la función, produce una salida de 5.

Eso significa que podemos reescribir nuestro problema para que sea este – g (5) – y nuevamente, volver a la gráfica para encontrar este valor también. Esta vez, comenzamos insertando 5 para el valor de x , subiendo a la línea, pasando y encontrando que la salida correspondiente es 7. Por lo tanto, g ( g (2)) = 7!

Ejemplo # 2

Echemos un vistazo a otro ejemplo, uno que combina múltiples temas de funciones. Si f ( x ) = 2 x – 7 y g ( x ) = x – 5, ¿cuál es el dominio de f ( x ) / g ( x )? Para esta pregunta, necesitaremos saber cómo dividir funciones y también cómo determinar el dominio de una función.

Antes de que podamos empezar a pensar en el dominio, necesitaremos hacer la división para ver con qué nos enfrentamos. Siempre y cuando no se vuelva psíquico, las operaciones funcionales como esta no son demasiado difíciles. Simplemente sustituimos lo que sabemos que es cada función en nuestra fracción. Eso significa que terminamos con f ( x ) / g ( x ) = 2 x – 7 / x – 5. Ahora que tenemos nuestra nueva función, es hora de comenzar a pensar en el dominio. Tendremos que recordar que el dominio de una función son, por lo general, todos los números reales, pero que hay algunas propiedades comunes que impiden que este sea el caso. Los principales son:

• Dividiendo por cero
• Raíces cuadradas de números negativos
• Logaritmos de números negativos

Mirando nuestra función aquí, no veo raíces cuadradas ni registros, así que estamos bien allí. Pero tenemos una fracción, lo que significa que dividir por 0 es una posibilidad. Eso significaría que x – 5 tendría que ser 0 para que esto sea un problema. ¿Podría pasar eso? ¿Existe un valor de x que haga x – 5 = 0? ¡Claro que sí, si x = 5! Eso significa que x = 5 debe excluirse de nuestro dominio. Si lo sustituimos en nuestra fracción, obtendríamos un valor indefinido, que no está permitido. Por lo tanto, nuestra respuesta es cualquier número real excepto 5.

Ejemplo # 3

La nueva función, h inversa, como la raíz cuadrada de x – 1

Podemos hacer problemas muy similares, pero con funciones inversas en lugar de división de funciones. Por ejemplo, si h ( x ) = x 2 + 1, ¿cuál es el dominio de la inversa de h ?

Haremos el mismo proceso al final de determinar si hay algún valor que debamos excluir del dominio, pero primero tenemos que encontrar el inverso de h . Ese es un proceso de reemplazar h ( x ) con y , cambiar la y con la x y luego volver a resolver la ecuación para y . Hacer eso con este ejemplo significa que primero tendríamos que restar 1 de ambos lados, luego deshacer una potencia de 2 con una raíz cuadrada. Eso nos deja con nuestra nueva función, h inversa, como la raíz cuadrada de x – 1.

Nuevamente, vemos si hay puntos problemáticos en esta función que significarían que tenemos que excluir valores. En este caso, no hay fracciones de las que preocuparse, pero hay una raíz cuadrada. Eso significa que tenemos que preocuparnos por la posibilidad de que podamos terminar con la raíz cuadrada de un número negativo (algo que no está definido). En este caso, eso significa que tenemos un problema si x – 1 es negativo. Lo que realmente queremos es que x – 1 sea mayor o igual a 0. Siempre que eso sea cierto, no tenemos ningún problema. Resolver rápidamente esta desigualdad nos muestra que siempre que x sea ​​mayor o igual que 1, estamos bien. Eso significa que el dominio de h inverso son todos los números reales que son mayores o iguales que 1.

¡Esperamos que estos ejemplos te hagan sentir un poco más seguro de tu capacidad para usar funciones!