Sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un grupo de dos o más ecuaciones que contienen las mismas variables. En un sistema de ecuaciones hay más de una incógnita ya que las ecuaciones contienen más de una variable. Podemos usar estos sistemas para resolver todas las variables , o incógnitas, en el sistema.
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Dado que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones, también podemos representar el sistema gráficamente al graficar todas las ecuaciones del sistema en la misma gráfica. Por ejemplo, considere el siguiente sistema.
3 x – y = 1
4 x + 2 y = 8
La imagen muestra este sistema representado gráficamente.
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Observe que el punto de intersección de las ecuaciones en la gráfica es un punto que satisface ambas ecuaciones del sistema. A ese punto lo llamamos una solución al sistema. La solución de un sistema de ecuaciones consiste en los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas. Vemos que una solución del sistema en nuestro ejemplo es x = 1 e y = 2, que también se puede escribir como el par ordenado (1, 2).
Hay varias formas de encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones, pero esas estrategias son para otra lección. En esta lección, queremos ver aplicaciones de sistemas de ecuaciones y cómo configurar un sistema de ecuaciones que podamos usar para resolver un problema.
Aplicaciones de sistemas de ecuaciones
Suponga que desea conocer el historial de victorias / derrotas del equipo de baloncesto de su escuela. Sabes que jugaron 24 partidos durante la temporada y también sabes que ganaron 4 partidos más de los que perdieron. Estamos buscando el número de victorias y el número de pérdidas, por lo que tenemos dos incógnitas. Hmmm, más de uno desconocido, ¡eso debería sonar una campana!
Los sistemas de ecuaciones se utilizan para resolver aplicaciones cuando hay más de una incógnita y hay suficiente información para establecer ecuaciones en esas incógnitas. En general, si hay n incógnitas, necesitamos suficiente información para establecer n ecuaciones en esas incógnitas. Cuando tenemos esas dos cosas, establecer un sistema de ecuaciones es una buena manera de comenzar a abordar el problema.
Encontrar el registro de victorias / derrotas de su equipo implica encontrar más de una incógnita, y se nos da información para establecer ecuaciones en esas incógnitas, así que sigamos adelante y establezcamos un sistema de ecuaciones para representar este problema.
Lo primero que queremos hacer es representar nuestras incógnitas usando variables. Dejemos w = número de victorias yl = número de pérdidas. Se nos da que el equipo jugó 24 partidos en total. Sabemos que el número de victorias más el número de derrotas tiene que ser igual al número total de juegos jugados. Por lo tanto, w + l = 24. Tenemos nuestra primera ecuación.
Dado que hay dos incógnitas, sabemos que queremos una ecuación más. Nos dicen que el equipo ganó 4 partidos más de los que perdió. Esto nos dice que el número de pérdidas más 4 daría el número de victorias. Poniendo eso en forma de ecuación, tenemos que l + 4 = w . Tenemos nuestra segunda ecuación, entonces tenemos nuestro sistema de ecuaciones.
w + l = 24
l + 4 = w
La imagen muestra este sistema representado gráficamente.
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Vemos que el punto de intersección es (14, 10). Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es w = 14 y l = 10. Tenemos la respuesta a nuestro problema. El equipo de baloncesto de su escuela ganó 14 juegos y perdió 10 juegos. ¡No es una mala temporada!
Ejemplo
Consideremos un ejemplo más. Suponga que quiere encontrar tres números dada la siguiente información.
- Si sumas todos los números, obtienes 50.
- Dos veces el primer número más el segundo número es igual al tercer número más 22.
- Duplicar la suma del primer y segundo número da 3 veces el tercer número.
Vemos que hay tres incógnitas, por lo que necesitamos tres ecuaciones. Comenzamos nombrando las incógnitas con variables. Sea x = el primer número, y = el segundo número yz = el tercer número. Si sumamos todos los números, obtenemos 50. Por lo tanto, x + y + z = 50. Tenemos una ecuación.
El siguiente hecho dice que 2 veces el primer número, o 2 x , más el segundo número, y , es igual al tercer número más 22, o z + 22. Poniendo todo esto en forma de ecuación, tenemos 2 x + y = z + 22. Tenemos dos ecuaciones. ¡Solo necesitamos uno más!
El último hecho da que duplicar la suma del primer y segundo número, o 2 ( x + y ), da 3 veces el tercer número, o 3 y . Poniendo esto en forma de ecuación, tenemos 2 ( x + y ) = 3 y . Tenemos tres ecuaciones, entonces tenemos nuestro sistema.
x + y + z = 50
2 x + y = z + 22
2 ( x + y ) = 3 y
La solución de este sistema es x = 12, y = 18, z = 20, porque si conectamos estos valores para las variables, hacen que todas las ecuaciones de nuestro sistema sean verdaderas.
Resumen de la lección
Un sistema de ecuaciones es un grupo de dos o más ecuaciones con las mismas variables. Una solución de un sistema de ecuaciones consta de los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas. Este es también el punto de intersección de las ecuaciones cuando las graficamos todas en la misma gráfica.
Los sistemas de ecuaciones se pueden utilizar en aplicaciones que tienen más de una desconocida y suficiente información para establecer ecuaciones en esas incógnitas. Si hay n incógnitas, necesitamos suficiente información para establecer n ecuaciones. Reconocer cuándo usar sistemas de ecuaciones y estar familiarizado con cómo configurarlos facilita la resolución de aplicaciones con más de una incógnita.
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