Corriendo hacia la meta
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Existe esta vieja paradoja que dice que para llegar a cualquier línea de meta, primero tienes que llegar a la mitad del camino, sin importar por dónde empieces. Si estás corriendo una carrera, primero tienes que llegar a la mitad de la meta antes de poder llegar a la meta. Pero, cuando estás a medio camino de la meta, tienes que llegar a la mitad de lo que queda para terminar, de modo que estés a tres cuartos del camino hasta la meta. No importa qué tan cerca esté de la línea de meta, solo puede llegar a la mitad de la meta desde donde se encuentra. Eventualmente, esto se vuelve muy frustrante. Tienes que preguntarte, ¿la línea de meta está fuera de tu alcance?
Asíntotas
Hablemos un poco de asíntotas . Al igual que nuestra línea de meta que está fuera de su alcance, estos son lugares a los que no puede llegar. Por ejemplo, si miramos la distancia a nuestra meta, o la distancia a la línea de meta, en función del tiempo, cada segundo llegamos a la mitad de la meta. Nos acercamos cada vez más a este eje x horizontal . Pero nunca llegamos a la meta.
Matemáticamente, podríamos escribir esto como, digamos, y = 1 / x . y es la distancia hasta la línea de meta y x es la cantidad de tiempo que hemos pasado tratando de llegar a la línea de meta. No importa cuán grande sea x , y nunca llegará a cero. No importa cuánto tiempo continúe, no puede llegar a la meta. Siempre vas a ser justo al lado de él. Pero si está justo al lado, su siguiente paso solo puede llevarlo a la mitad de la línea de meta, que todavía no está allí.
Echemos un vistazo a un ejemplo: y = x / ( x ^ 2 + 1) + 1. Grafiquemos esto.
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Asíntotas horizontales
Definamos una de estas asíntotas horizontales . Si y se acerca a algún número, como y va a N cuando x va a +/- infinito, entonces la recta y = N es una asíntota horizontal. En el caso de y = 1 / x , y se acerca a cero cuando x se vuelve realmente grande, cuando x va a + infinito. Esto es como decir que a medida que el tiempo llega al infinito, la distancia hasta la meta va a cero, pero en realidad no va a llegar a cero. En realidad, no vas a llegar allí.
Encontrar asíntotas de funciones polinomiales racionales
Este gráfico parece un latido del corazón. A medida que x se vuelve realmente grande, nos movemos al extremo derecho de este gráfico. Y, de hecho, podemos seguir yendo mucho más allá de este gráfico, hasta donde puedas imaginar. A medida que x se vuelve realmente grande a medida que avanzamos tanto como puedas imaginar hacia la derecha, y se acercará al valor de 1. Por otro lado, cuando x se vuelve muy, muy pequeño, a medida que nos movemos hacia la izquierda en x , y también se acercará a 1. Aunque se acercará desde abajo, mientras que para los valores positivos de x , se acercará a 1 desde arriba. Veamos este lado derecho con más detalle. Cuando x es igual a 1, yes 1,5. A medida que aumento x a 5, y se acerca lentamente a 1; es 1,19. y es 1,10 cuando x es 10. Cuando x es 100, y es 1,01. Y, en x = 1,000, y es 1.001. Como puede ver, a medida que x se hace más y más grande, y se acerca a 1. Pero en realidad nunca llegará a 1. No puede resolver esta ecuación para y = 1.
Con las asíntotas horizontales, la clave es lo que sucede cuando la variable independiente se vuelve muy grande, ya sea grande en la dirección positiva o muy grande pero negativa.
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Asíntota vertical
Hay un segundo tipo de asíntota que vemos a menudo. Esto es como si estuviera tratando de ir a 1 milla de su casa, pero hay una gran colina justo antes del marcador de 1 milla. Puede intentar subir esa colina, pero cada vez se vuelve más y más empinada, cuanto más se acerca a esa milla. Esto es lo que llamamos asíntota vertical .
Vemos esto en el caso de y = 1 / (1- x ). A medida que nos acercamos más y más a x = 1 desde el lado izquierdo, y se hace cada vez más grande. De hecho, y no está definido en x = 1. Si intentas insertar x = 1 en esta ecuación, terminas con y = 1/0, y eso no tiene ningún sentido. Definamos formalmente las asíntotas verticales. Esto es lo que sucede si y va al infinito o al infinito negativo cuando x se acerca a algún número, entonces la recta x = N es una asíntota vertical. Lo llamamos asíntota vertical porque es una línea vertical.
Veamos un ejemplo. Digamos que y = 1 / (( x – 1) ( x + 2)). Tanto en x = 1 como en x = -2, y no está definida. Pero, ¿qué sucede cuando nos acercamos realmente a esos valores? A medida que nos acercamos mucho a x = 1, viniendo del lado positivo, comenzando en x = 1.1 y acercándonos a 1, y comienza a volverse muy grande. En x = 1,1, y es 3,23. A medida que x se acerca a 1, digamos en 1.01, y es 33.22. Si nos acercamos a 1 desde el otro lado, digamos de 0,9 a 0,99, yse vuelve muy, muy grande, pero negativo. Lo que vemos es una asíntota vertical en 1, donde por un lado, y se vuelve muy grande y positiva y en el otro lado se vuelve muy grande, pero negativa. Veamos x = -2. A medida que nos acercamos a x = -2 desde el lado derecho, en -1,9 y -1,99, vemos que y se vuelve muy grande, pero negativo. Si nos acercamos a -2 desde el lado izquierdo, como -2.1 y -2.01, vemos que y se vuelve muy grande y positiva. Nuevamente, tenemos otra asíntota vertical en -2.
Derivadas, intersecciones y asíntotas de croquis de curvas
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En nuestros dos ejemplos, tuvimos asíntotas verticales en las que nuestra ecuación no estaba definida, específicamente en las que dividíamos por cero . Ésta es la clave cuando busca asíntotas verticales.
Resumen de la lección
Revisemos. Las asíntotas horizontales son donde y se acerca a algún número cuando x va al infinito positivo o negativo. Esto es como nuestra carrera, donde solo podemos llegar a la mitad de la meta cada segundo. Aquí, no importa cuánto tiempo hayamos ido, a medida que el tiempo se fue al infinito, nuestra distancia hasta la meta no llegaría a cero, pero se acercaría mucho. Se acerca a cero a medida que el tiempo llega al infinito.
Una asíntota vertical es donde y va al infinito positivo o negativo cuando x se acerca a algún número. Esto es algo así como cuando nos acercábamos al marcador de 1 milla, teníamos esa colina que seguía haciéndose más y más empinada y más empinada. A medida que nos acercábamos al marcador de 1 milla, y se fue al infinito.
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