Función racional y discontinuidad
¿Has oído hablar de un agujero negro? Es un fenómeno natural que no se puede describir, medir o explicar completamente, ¡pero existe! Algo similar ocurre en matemáticas, donde hay una discontinuidad en una «función normal». Las discontinuidades en matemáticas pueden tener la forma de una línea o un punto. Una asíntota es una línea a la que una función se acerca pero nunca alcanza o cruza. Primero, necesitamos revisar las funciones racionales.
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Cualquier número que se pueda expresar como una razón de dos enteros es un número racional . Por ejemplo, 5 es un número racional porque se puede escribir como:
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¡Los números racionales también se aplican a las funciones! Una razón de dos polinomios se llama función racional . Veamos este ejemplo:
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¿Qué tipo de valor no está definido ? Dependiendo de la herramienta gráfica que esté utilizando, es posible que vea el mensaje de error para y cuando x = 3 . Eso sucede porque cuando sustituyes x por 3 , el denominador es cero. Eso hace que todos los matemáticos entren en pánico. ¡No se puede dividir por cero!
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Una discontinuidad es cuando ocurre un valor indefinido en una función. Significa que no hay y para ese valor x específico .
Veamos la misma función racional:
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A medida que el valor de x se acerca a 3:
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La tabla muestra valores de x que se acercan mucho a 3 desde el lado izquierdo y desde el lado derecho. Desde la izquierda, los valores se acercan al infinito negativo. Cuando la x se acerca a 3 desde el lado derecho, los valores de y se acercan al infinito positivo.
El valor de x que hará que el denominador sea igual a cero es la asíntota vertical y los valores de y se acercarán al infinito positivo, al infinito negativo oa ambos.
Asíntota vertical
Una asíntota vertical es una línea vertical en el valor de x para el cual el denominador será igual a cero.
Veamos este ejemplo:
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El denominador tiene dos factores. Cuando los igualamos a cero por separado y resolvemos para cada x, obtenemos las dos asíntotas verticales, x = 2 y x = -1.
| x – 2 | x + 1 |
|---|---|
| x – 2 = 0 | x + 1 = 0 |
| x = 2 | x = -1 |
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Agujero – Discontinuidades extraíbles
Un agujero es también un valor de x para el que no existe una función f (x) , pero no es una línea vertical. Es un punto (x, y) que ha sido ‘eliminado’ cancelando el mismo factor del numerador y el denominador de una función racional. ¡Una especie de agujero negro!
Por ejemplo,
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Podemos ver que para x = 2 y x = 3, f (x) no está definida, pero solo hay una asíntota vertical en la gráfica, x = 3. No hay error, el valor x = 2 se ha eliminado algebraicamente de la ecuación crea un agujero virtual en la función.
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Asíntota horizontal
Hay algunos valores de x que no existen para funciones racionales. Piense en ello, cuando divide por x , ya sabe que x no puede ser igual a cero. ¿Qué pasa con los posibles valores de y que pueden existir o no? Las asíntotas horizontales son líneas horizontales que interrumpen la función en los valores de y .
Mira la tabla de valores:
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Cuando x se vuelve realmente grande (acercándose al infinito) o los valores de x se vuelven realmente pequeños (acercándose al infinito negativo), y se acerca a cero. Al acercarse, queremos decir que se acerca mucho al cero como 0.00001, pero no al valor cero en sí. Ese comportamiento final de f (x) también es la asíntota horizontal.
Hay tres reglas para la asíntota horizontal:
| Caso | Asíntota horizontal | |
|---|---|---|
Si el grado del numerador es menor que el del denominador,
| y = 0 | |
Si el grado del numerador es igual al del denominador,
| y = relación de los coeficientes principales | |
Si el grado del numerador es mayor que el del denominador,
| No hay asíntota horizontal pero tiene una asíntota oblicua (inclinada). |
Asíntota oblicua (inclinada)
Existen asíntotas oblicuas si el grado del polinomio en el numerador es un grado más alto que el denominador. Puede obtener la ecuación para la asíntota inclinada realizando una división polinomial (división sintética o larga). Si divide el numerador por el denominador, el cociente es la ecuación lineal de la asíntota inclinada.
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Multiplicar los factores en el numerador da:
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El numerador tiene un polinomio cuadrático y el denominador es lineal. Por tanto, no existe una asíntota horizontal. Podemos realizar una división de polinomios para obtener la ecuación de la asíntota oblicua. Si recuerda cómo dividir polinomios, sabrá que (x 2 – 3x + 2) dividido por (x – 3) es igual a x resto 2. El resto nos dice que (x – 3) no es un factor del numerador. Lo importante es la recta y = x . Es la asíntota inclinada.
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Resumen de la lección
Las gráficas de funciones racionales pueden tener las siguientes discontinuidades:
- Asíntota vertical: uno o más valores de x para los cuales el denominador es igual a cero
- Agujero: el valor x que se ha eliminado al cancelar el mismo factor del numerador y el denominador
- Asíntota horizontal: el comportamiento final de la función, hay tres reglas para encontrar estas
- Asíntota oblicua: existen si el grado del numerador es exactamente un grado más alto que el grado del denominador, use la división polinomial para encontrarlos.
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