Encontrar asíntotas de funciones polinomiales racionales

Asíntotas y funciones racionales

Suponga que va a caminar por un sendero bordeado de hiedra venenosa. Hay un río que corre al lado del sendero que está tratando de grabar mientras camina por el sendero. Desea acercarse lo más posible al borde del sendero para obtener la mejor vista del río, pero no desea tocar el borde debido a la hiedra venenosa. Simplemente camina, acercándose más y más al borde sin tocarlo. Este escenario nos da una idea de cómo un gráfico se aproxima a una asíntota.

Una asíntota es una línea a la que se acerca la gráfica de una función, pero en realidad nunca la toca. Hay asíntotas verticales, asíntotas horizontales y asíntotas oblicuas. Las asíntotas oblicuas también se denominan asíntotas oblicuas. Las asíntotas verticales y horizontales son líneas verticales y horizontales, respectivamente. Una asíntota oblicua o inclinada es una asíntota que no es ni vertical ni horizontal.

Las asíntotas son una característica bien conocida de las funciones racionales. Una función racional es una función que es un cociente de funciones.

Veamos cómo encontrar las asíntotas de una función racional.

Encontrar asíntotas verticales

Como dijimos, hay tres tipos de asíntotas. Primero, veamos cómo encontrar las asíntotas verticales de una función racional. Para encontrar asíntotas verticales, queremos seguir estos pasos.

1. Iguala el denominador a cero y resuelve.
2. Los valores que hacen que el denominador sea cero son aquellos en los que tendrás asíntotas verticales.

Por ejemplo, considere la función h ( x ) = x / ( x 2 – 4). Para encontrar las asíntotas verticales, igualaríamos el denominador a cero y resolveríamos. Como podemos ver, tenemos x 2 – 4 = 0 para empezar, y luego establecemos cada factor para que sea igual a cero con ( x + 2) multiplicado por ( x – 2) igual a cero. Luego resolvemos para ambas ecuaciones.

Y así, las asíntotas verticales de la función son x = -2 y x = 2.

Encontrar asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales se pueden identificar en una función racional examinando el grado tanto del numerador como del denominador. El grado de una función es el exponente más alto de la función. Hay tres posibilidades en una función racional:

Una vez que averigüemos cuál de estos es verdadero para nuestra función, podemos encontrar las asíntotas horizontales. Es importante tener en cuenta que una gráfica puede cruzar una asíntota horizontal. Cuando este es el caso, el gráfico se acerca a la asíntota pero no la toca en una parte del gráfico, sino que la cruza en otra parte.

Veamos cada uno de estos casos que acabamos de mencionar.

El primer caso ocurre cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Cuando este es el caso, y = 0 es una asíntota horizontal. El ejemplo dado es la función que miramos cuando encontramos nuestras asíntotas verticales, h ( x ) = x / ( x 2 – 4). En esta función, el grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 2. Dado que 1 <2, y = 0 es una asíntota horizontal de esta función.

El segundo caso se aplica cuando los grados del numerador y el denominador son iguales. Cuando este es el caso, debemos tratar con los coeficientes de adelanto. El coeficiente de adelanto de una función es el número delante del término con el exponente más alto. Por ejemplo, en la función r ( x ) = 2 x 4 + 4 x 3 – x + 5, el coeficiente de adelanto es 2, el número delante de x 4 .

Cuando una función racional cae en la segunda categoría, la función tiene una asíntota horizontal en y = a / b , donde a es el coeficiente principal del numerador y b es el coeficiente principal del denominador. En la función d ( x ) = 4 x 2 / (5 x 2 – x ), el grado del numerador es 2 y el grado del denominador también es 2. Los grados son iguales. Por tanto, la función tiene una asíntota horizontal en y = 4/5, donde 4 es el coeficiente principal del numerador y 5 es el coeficiente principal del denominador.

Ahora echemos un vistazo a cómo encontrar asíntotas oblicuas o inclinadas.

Encontrar asíntotas oblicuas

Cuando una función pertenece a la tercera categoría y el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, la función tiene una asíntota oblicua o inclinada. Para encontrar una ecuación para esta asíntota, realizamos la división larga indicada por la función. La asíntota inclinada tendrá la forma:

y = (cociente cuando realizamos una división larga en la función)

La función s ( x ) = ( x 2 + 2 x + 1) / x tiene un numerador de grado 2 y un denominador de grado 1. Como 2> 1, tiene una asíntota oblicua. Realizar la división larga es un proceso en sí mismo, así que lo dejaremos para otra lección. Sin embargo, en esta función, si realizamos la división larga, obtendríamos un cociente de x + 2 y un resto de 1. Por tanto, la ecuación de la asíntota sería y = x + 2.

Resumen de la lección

Tomemos ahora un par de minutos para revisar la información importante que hemos aprendido sobre cómo encontrar funciones polinomiales racionales y asíntotas. Las funciones racionales son funciones que son cocientes de funciones. Estos tipos de funciones tienen asíntotas , que son líneas a las que se acerca un gráfico, pero que no toca. Las funciones racionales pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas (inclinadas).

Para encontrar las asíntotas verticales de una función racional, factorizamos el denominador por completo, luego lo igualamos a cero y resolvemos. Los valores que hacen que el denominador sea cero son donde se producirán las asíntotas verticales. Las asíntotas horizontales y las asíntotas oblicuas de funciones racionales se encuentran comparando los grados de la función en el numerador y la función en el denominador:

Ser capaz de encontrar asíntotas de funciones racionales es extremadamente útil para graficar, analizar y resolver estas funciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador