Cómo encontrar límites usando asíntotas

Publicado el 24 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Límites y asíntotas

Suponga que un médico le administra un medicamento a un paciente. Luego monitorea la cantidad de medicamento que hay en el torrente sanguíneo del paciente en diferentes intervalos de tiempo. Ella encuentra que la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo del paciente después de x horas se puede modelar usando la siguiente función:

  • g ( x ) = 3 (2) – x

A medida que un medicamento sale del cuerpo, la cantidad restante debe acercarse cada vez más a cero a medida que pasa el tiempo. En otras palabras, g ( x ) debería acercarse a 0, a medida que x crece cada vez más.

En matemáticas, este fenómeno se describe utilizando límites. El límite de una función , f ( x ), es un valor al que se acerca la función cuando x se acerca a algún valor. Un límite unilateral es un límite en el que x se acerca a un número solo por la derecha o solo por la izquierda. Las notaciones que usamos para representar estos límites se muestran en la imagen.

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Por lo tanto, en nuestro ejemplo, dado que la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo se acerca a 0 a medida que x aumenta cada vez más, tenemos que el límite de g ( x ), cuando x se acerca al infinito, es 0.

  • lim x → ∞ g ( x ) = 0

En esta lección, se verá cómo encontrar límites usando asíntotas.

¡Espera un segundo! Asymp-¿qué? Una asíntota es una línea a la que se acerca un gráfico pero que no toca. Una asíntota vertical es una línea vertical a la que se acerca un gráfico pero no toca, y una asíntota horizontal es una línea horizontal a la que se acerca un gráfico pero no toca.

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Ahora que sabemos qué son los límites y las asíntotas, echemos un vistazo a cómo podemos encontrar límites usando asíntotas.

Cómo encontrar límites usando asíntotas

Observe la gráfica de y = g ( x ) del ejemplo de medicación.

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Observe que la gráfica se acerca a la línea y = 0 a medida que x se hace cada vez más grande, o se acerca al infinito, por lo que la gráfica tiene una asíntota horizontal en la línea y = 0. Es posible que ya esté viendo una conexión.

Verá, la gráfica tiene una asíntota horizontal en y = 0, y el límite de g ( x ) es 0 cuando x se acerca al infinito. No es casualidad. Los límites y asíntotas están relacionados por las reglas que se muestran en la imagen.

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Por lo tanto, para encontrar límites usando asíntotas, simplemente identificamos las asíntotas de una función y la reescribimos como un límite. Consideremos un ejemplo para solidificar nuestro entendimiento.

Ejemplo

Observe la gráfica de la función f ( x ) = 1 / ( x – 2) que se muestra en la imagen.

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Observe que tiene una asíntota vertical en x = 2. Según nuestras reglas que relacionan asíntotas y límites, debe ser cierto que el límite de f ( x ), cuando x se acerca a 2, desde la derecha, la izquierda o ambos, debe ser igual a infinito. o infinito negativo. Todo lo que tenemos que hacer es mirar hacia atrás en la gráfica para determinar cuáles de estos límites son verdaderos para f ( x ). Vemos que cuando x se acerca a 2 por la izquierda, f ( x ) se acerca al infinito negativo. Además, cuando x se acerca a 2 por la derecha, f ( x ) se acerca al infinito positivo, por lo que tenemos los siguientes dos límites:

  • lim x → 2 – f ( x ) = -∞
  • lim x → 2 + f ( x ) = ∞

¿Ve otras asíntotas involucradas con estas funciones? Si estás pensando que hay una asíntota horizontal en y = 0, ¡tienes razón!

Debido a esto, debe darse el caso de que el límite de f ( x ), cuando x se acerca al infinito, sea igual a 0 y / o el límite de f ( x ), cuando x se acerca al infinito negativo, sea igual a 0. De nuevo , miramos nuestro gráfico y encontramos que ambos son verdaderos. Por lo tanto, tenemos los siguientes dos límites que también se aplican a nuestra función, f ( x ):

  • lim x → -∞ f ( x ) = 0
  • lim x → ∞ f ( x ) = 0

¡Guauu! Encontramos todos esos límites simplemente identificando las asíntotas de f ( x ) y relacionándolas con los límites. ¡Tienes que admitir que eso es genial!

Resumen de la lección

El límite de una función , f ( x ), es un valor al que se acerca la función cuando x se acerca a algún valor. Un límite unilateral es un límite en el que x se acerca a un número solo por la derecha o solo por la izquierda. Una asíntota es una línea a la que se acerca un gráfico pero que no toca. Una asíntota que es una línea vertical se llama asíntota vertical, y una asíntota que es una línea horizontal se llama asíntota horizontal.

Los límites y las asíntotas tienen reglas que los relacionan entre sí.

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Podemos usar estas reglas para encontrar límites usando asíntotas. Simplemente identificamos las asíntotas de una función y luego observamos la gráfica de la función y usamos las reglas para identificar los límites de la función. Ser capaz de hacer esto realmente nos ayuda a trabajar con límites y asíntotas de funciones en aplicaciones del mundo real.

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