Asíntotas verticales: definición y reglas

¿Qué son las asíntotas verticales?

Las asíntotas verticales son líneas verticales invisibles a las que ciertas funciones se acercan, pero no se cruzan, cuando se grafica la función. Cuando grafica algunas funciones matemáticas, verás que la curva resultante evita ciertas líneas invisibles en el gráfico. Pase lo que pase, no puede hacer que la gráfica cruce esas líneas. Déjame mostrarte cómo se ve.

Un gráfico con asíntotas verticales.

Las líneas punteadas se han dibujado para mostrarle dónde están las asíntotas verticales. ¿Ves cómo el gráfico evita esas áreas?

Reglas

Hay algunas reglas que siguen las asíntotas verticales.

1. El gráfico tiende a infinito positivo o negativo a medida que se acerca a la asíntota vertical. Mire el gráfico y observe cómo la curva sube o baja completamente a medida que se acerca a la asíntota.
2. La distancia entre la asíntota y la gráfica tiende a cero a medida que la gráfica se acerca a la asíntota. La gráfica y la asíntota parecerán casi fusionarse en las puntas, pero la curva nunca tocará realmente la asíntota. Es como si la asíntota vertical tuviera un campo protector a su alrededor que evita que nada la toque o cruce.
3. El gráfico puede aproximarse a la asíntota vertical desde cualquier dirección, desde la derecha o desde la izquierda. Mire el gráfico y observe cómo se acerca el gráfico desde ambas direcciones. Algunas funciones solo se acercan desde una dirección, pero al igual que nuestra función, otras pueden acercarse desde ambas.

Funciones

La función que graficamos es algo compleja y se llama función racional . En esta lección, nos centraremos en las asíntotas verticales de funciones racionales. Hay otras funciones que también producen asíntotas verticales, pero las funciones racionales son las más comunes.

Una función racional es una función cuyo numerador y denominador están formados por polinomios. La forma general de una función racional es la siguiente.

Forma general de una función racional.

A continuación se muestran algunos ejemplos de funciones racionales.

Funciones racionales.

Todo lo anterior son fracciones donde tanto el numerador como el denominador son polinomios. Debido a esto, este tipo de función le facilita encontrar las asíntotas verticales.

Determinación de asíntotas verticales

Para determinar las asíntotas verticales de una función racional, todo lo que necesitas hacer es igualar el denominador a cero y resolver. Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero. Recuerde, la división por cero es un no-no. Debido a que no puede tener una división por cero, la gráfica resultante evita esas áreas.

Regresemos a nuestra primera función y veamos si podemos encontrar las asíntotas verticales.

Encuentra las asíntotas verticales.

Para encontrar las asíntotas verticales, debes igualar el denominador a cero y resolver. Veamos qué obtenemos cuando hacemos eso. Usaríamos factorización para resolver.

Resolviendo el denominador para cero.

Hemos encontrado que nuestros ceros para nuestro denominador son -3 y -7. Ahora, mire el gráfico para ver si ahí es donde están mis asíntotas verticales. Sí, lo parece. La gráfica evita las líneas en x = -3 y x = -7.

Existe una circunstancia en la que un cero en el denominador no produce una asíntota vertical. Esto es cuando tienes el mismo cero en el numerador. Entonces, lo que esto significa es que querrás resolver tanto el numerador como el denominador para cero. Si tienen una respuesta en común, entonces ese número no es una asíntota vertical. Veamos cómo se ve eso. La siguiente función ya se ha factorizado, por lo que puede ver fácilmente sus ceros.

Una función con una asíntota cancelada.

Al observar esta función, vemos que las asíntotas verticales son -3, -1 y -2 al resolver el denominador para cero. Pero, resolviendo el numerador para cero, vemos que el numerador tiene ceros de -3 y 4. Ambos tienen un -3, lo que significa que la asíntota vertical en -3 se cancela por el cero -3 en el numerador. Entonces, mis asíntotas reales son solo x = -1 y x = -2.

Resumen de la lección

En resumen, una asíntota vertical es una línea invisible que el gráfico nunca toca. El gráfico se acercará a esta línea, pero no se atreverá a tocarla ni a cruzarla. El gráfico puede aproximarse a esta asíntota desde cualquier dirección, o desde ambas. Para encontrar la asíntota de funciones racionales, resuelve el denominador para cero. Todos los ceros del denominador son asíntotas verticales, excepto en el caso de que aparezca el mismo cero en el numerador.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador