Autovalores y autovectores: definición, ecuación y ejemplos

Una matriz de ejemplo

Cada matriz cuadrada tiene valores especiales llamados valores propios. ¿Que son estos? Bueno, comencemos por hacer el siguiente problema de multiplicación de matrices en el que multiplicamos una matriz cuadrada por un vector.

Intente hacerlo usted mismo antes de buscar la solución a continuación.

Ojalá tengas lo siguiente:

¿Qué notas sobre el producto? Si miras de cerca, notarás que es 3 veces el vector original. De hecho, podríamos escribir nuestra solución así:

Esto nos dice que 3 es un valor propio, siendo el vector original en el problema de multiplicación un vector propio.

Autovalores y autovectores

Un vector propio de una matriz cuadrada A es un vector x distinto de cero tal que para algún número λ, tenemos lo siguiente:

Ax = λ x

Llamamos a λ un valor propio .

Entonces, en nuestro ejemplo en la introducción, λ = 3,

Observe que si x = cy , donde c es un número, entonces

A ( cy ) = λ cy

cAy = λ cy

Ay = λ y

Por lo tanto, cada múltiplo constante de un autovector es un autovector, lo que significa que hay un número infinito de autovectores, mientras que, como veremos más adelante, hay una cantidad finita de autovalores. Cada valor propio tendrá su propio conjunto de vectores propios.

Encontrar valores propios y vectores propios

Necesitamos encontrar los autovalores para encontrar los autovectores. Para hacerlo, vamos a manipular la ecuación Ax = λ x . Primero, observe que podemos restar λ x de ambos lados, lo que nos da

Hacha – λ x = 0

donde 0 representa el vector cero, o el vector columna formado solo por ceros.

A continuación, queremos factorizar x en el lado izquierdo de la ecuación, pero para hacerlo, debemos ocuparnos de dos detalles importantes. Primero, observe que si factorizamos x sin tener cuidado, obtenemos A – λ, lo cual es problemático. Este es un problema ya que no podemos restar un número de una matriz; solo podemos restar una matriz del mismo tamaño.

Por lo tanto, vamos a reescribir x como Ix . Podemos hacer esto ya que I es la matriz de identidad; multiplicar contra ella no hace nada. Esto nos da

Ax – λ Ix = 0

El segundo detalle importante que debemos tener en cuenta es que el orden de multiplicación importa con las matrices. Por lo tanto,

( A – λ I ) x = 0

Dado que ahora tenemos una matriz ( A – λ I ) que se multiplica por un vector distinto de cero ( x ) para darnos 0, A – λ I tiene un determinante de 0. Podemos usar esto para encontrar valores propios resolviendo la ecuación det ( A – λ I ) = 0 para λ. Debido a la naturaleza del determinante, det ( A – λ I ) siempre será un n º polinomio de grado cuando A es un n por n matriz, es decir, habrá n soluciones si contamos los que son números complejos. Por lo tanto, una matriz de n por n tienen valores propios. Como ejemplo, vamos a encontrar los valores propios de la siguiente matriz de 2 por 2.

Usando la fórmula determinante para matrices de 2 por 2, obtenemos que

(4 – λ) (1 – λ) – (-1) (2) = 0

significa que

λ² – 5λ + 4 + 2 = 0

λ² – 5λ + 6 = 0

(λ – 3) (λ – 2) = 0

Por lo tanto, λ = 3 o λ = 2. Observe que terminamos con un polinomio de segundo grado en el lado izquierdo, tal como esperábamos, ya que nuestra matriz era una matriz de 2 por 2. Ahora podemos usar estos valores propios para encontrar los vectores propios.

Recuerde que ( A – λ I ) x = 0. Al introducir los valores de λ podemos usar la reducción de filas para resolver x . Primero pondremos λ = 3.

Tenga en cuenta que esto nos dice que para algún vector con los parámetros x e y que x – y = 0, es decir x = y . Eso nos dice que los autovectores correspondientes al autovalor de 3 son todos autovectores de la forma

Intente encontrar el conjunto de autovectores correspondientes al autovalor de 2. Debería encontrar que todos pueden ser representados por vectores de la forma

Eigenvectores representativos

Aunque hay un número infinito de autovectores correspondientes a cada autovalor, a menudo es útil elegir un autovector particular en cada conjunto para representar todos los autovectores en el conjunto. Podemos elegir un representante poniendo un número por x en la descripción de todos los autovectores. Hay dos representantes principales que a menudo se eligen.

El representante común más fácil de producir es aquel en el que se coloca 1 para x . Por lo tanto, los vectores representativos de esta forma para el ejemplo anterior serían

El más difícil de producir de los representantes comunes es el vector propio unitario. El vector propio unidad es el vector propio de longitud 1. Recuerde que la longitud de un vector l con los parámetros x y y es encontrada por la ecuación l ² = x ² + y ². Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación 1 = x ² + y ². Como ejemplo, para el vector propio correspondiente al valor propio de 2 en la matriz, y = 2 x . Por tanto, para encontrar la x que queremos, resolvemos de la siguiente manera.

Por lo tanto, nuestro vector propio unitario es

Resumen de la lección

Recuerde que un autovalor λ y un autovector x para una matriz cuadrada A satisfacen la ecuación Ax = λ x . Resolvemos det ( A – λ I ) = 0 para λ para encontrar los valores propios. Luego, resolvemos ( A – λ I ) x = 0 para x para encontrar los vectores propios. A menudo representamos los valores propios insertando 1 para el parámetro que determina el vector o encontrando el vector propio unitario , el vector propio de longitud 1.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador