Bimedian de un cuadrilátero

Bimedian de un cuadrilátero

Suponga que está creando un jardín en un terreno pequeño de cuatro lados; llamar a sus vértices A , B , C , y D . Quieres plantar azaleas, begonias, campanillas y ranúnculos. Para hacer esto, necesita dividir el lote en cuatro partes usando dos tablas que cruzan los lados del lote en sus puntos medios; llamar a los puntos medios E , F , G , y H . Todo esto se muestra en la imagen.

Parcela de jardín

El lote de tierra es un cuadrilátero o una forma de cuatro lados y dos dimensiones. Las tablas son partes especiales del terreno cuadrilátero llamadas bimedianos, donde los bimedianos son segmentos de línea que conectan los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero. Además, el punto en el que las dos tablas, o bimedianos, se cruzan (punto J ) se llama centroide de los vértices del terreno cuadrilátero.

Ahora, suponga que sabe que las tablas, o bimedianos, tienen las siguientes longitudes:

• EG = 8 pies
• HF = 14 pies

Para crear su jardín, necesita conocer las longitudes de cada parte de estos bimedianos en los que los divide su punto de intersección. Es decir, necesitamos encontrar las longitudes EJ , JG , HJ y JF .

Afortunadamente, los bimedianos de un cuadrilátero satisfacen una cierta propiedad que hará que encontrar estas longitudes sea bastante simple.

Propiedad de bisección de bimedianos

Resulta que los bimedianos de un cuadrilátero se bisecan entre sí. Esto significa que el punto de intersección de los bimedianos, o el centroide de los vértices del cuadrilátero, corta cada uno de los bimedianos exactamente por la mitad.

Propiedad de bimedianos

¡Ah-ja! ¡Esto hace que encontrar las longitudes en nuestro ejemplo sea muy fácil! Simplemente dividimos la longitud de los bimedianos por la mitad (o dividimos por 2).

• 8 ÷ 2 = 4
• 14 ÷ 2 = 7

Esto nos dice que EJ y JG tienen una longitud de 4 pies, y HJ y JF tienen una longitud de 7 pies. ¡Estás listo! ¡Puedes crear tu jardín ahora! Sin embargo, esto nos lleva a preguntarnos: ¿cómo sabemos con certeza que los bimedianos de un cuadrilátero se bisecan entre sí? ¡Consideremos esto!

Prueba de que los bimedianos de un cuadrilátero se bisecan

Afortunadamente, tenemos un par de teoremas bien conocidos que hacen que la demostración de que los bimedianos se bisecan entre sí sea bastante simple, y esos dos teoremas son los siguientes:

1. Las diagonales de cualquier paralelogramo se bisecan entre sí, donde un paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos y tienen la misma longitud.
2. Teorema de Varignon: los puntos medios de los lados de un cuadrilátero forman los vértices de un paralelogramo.

Esos teoremas parecen bastante sencillos. Veamos cómo podemos usarlos para demostrar fácilmente que los bimedianos de un cuadrilátero se bisecan entre sí.

Prueba:

Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario y sea E el punto medio del lado AB , F el punto medio del lado BC , G el punto medio del lado CD y H el punto medio del lado DA , donde AB y CD son lados opuestos y BC y DA son lados opuestos. Por tanto, los bimedianos del cuadrilátero ABCD son EG y FH .

Según el teorema de Varignon, los puntos medios forman el paralelogramo EFGH , y este paralelogramo tiene diagonales EG y FH , y EG y FH también son bimedianos del cuadrilátero ABCD .

Ahora, según el teorema 1, las diagonales de cualquier paralelogramo se bisecan entre sí. Por lo tanto, dado que EG y FH son diagonales del paralelogramo EFGH , debe ser que EG y FH se bisecten entre sí, y dado que EG y FH también son bimedianos del cuadrilátero ABCD , los bimedianos del cuadrilátero ABCD se bisecan entre sí.

¡Oh wow! ¡Es fácil ver que el teorema 1 y el teorema 2 realmente hacen que esta demostración sea bastante simple!

Resumen de la lección

Un cuadrilátero es una forma bidimensional de cuatro lados. Los bimedianos de un cuadrilátero son los segmentos de línea que conectan los puntos medios de los lados del cuadrilátero. El centroide de los vértices de un cuadrilátero es el punto en el que se cruzan los bimedianos del cuadrilátero.

Una propiedad interesante que tienen los bimedianos de un cuadrilátero es que se bisecan entre sí, lo que significa que el punto de intersección de los bimedianos divide a los bimedianos exactamente por la mitad. Esta propiedad se puede probar fácilmente usando los hechos de que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí y que los puntos finales de los bimedianos de un cuadrilátero forman un cuadrilátero que es un paralelogramo.

Los bimedianos aparecen a menudo en el mundo real en áreas como construcción, ingeniería, física, astronomía y muchas más, ¡incluso en algo tan simple como crear un jardín! Es fácil ver que estar familiarizado con los bimedianos de un cuadrilátero y sus propiedades es muy útil.