Demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo
Un cuadrilátero y un paralelogramo
Cuando se trata de matemáticas, debes poder demostrar que lo que estás haciendo es correcto. Cuando se trata de geometría, es lo mismo. En geometría, a menudo se le pedirá que demuestre que cierta forma es, de hecho, esa determinada forma. Por ejemplo, es posible que se le muestre un cuadrilátero y se le pida que demuestre que es un paralelogramo. Recuerda que un cuadrilátero es una forma plana de cuatro lados. Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos opuestos.
Al mirar esta forma, podría pensar que es un paralelogramo, pero a menos que el problema le indique específicamente y / o pueda probar que lo es, no puede decir con certeza que es un paralelogramo.
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Aquí es donde las demostraciones matemáticas son muy importantes. Solo puede decir con certeza que este es un paralelogramo con una prueba matemática. La mayoría de las veces, cuando se le pide que demuestre que un determinado cuadrilátero es un paralelogramo, se le dará información sobre unos pocos lados. Entonces es tu trabajo demostrar que estos lados tienen las propiedades correctas de un paralelogramo. Veremos esto más de cerca en un momento.
Un cuadrilátero es un paralelogramo
Pero primero, repasemos cinco formas que puede utilizar para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo. Dependiendo de la información con la que tenga que trabajar, utilizará una de estas cinco formas.
1. Demuestre que ambos pares de lados opuestos son paralelos.
Éste es simplemente el reverso de la definición de paralelogramo. Si puedes demostrar que el cuadrilátero se ajusta a la definición de paralelogramo, entonces es un paralelogramo.
2. Demuestre que ambos pares de lados opuestos son congruentes.
Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces siempre tendrás dos pares opuestos de lados paralelos. Congruente significa que miden lo mismo. Piénselo: dos lados congruentes que separan el otro par de lados opuestos siempre deben mantener esas líneas opuestas a la misma distancia. Esto significa, entonces, que los lados opuestos también son paralelos.
3. Demuestre que un par de lados opuestos es congruente y paralelo.
Este es similar al método anterior. Simplemente se trata de probar el caso de otra manera. De hecho, puedes probar esto con cuatro palillos de dientes. Pruébelo colocando dos de los palillos de dientes opuestos y paralelos entre sí. Ahora conecte estos dos palillos en ambos extremos con los otros dos palillos. Notarás que no importa cómo coloques tu primer par de mondadientes, tu segundo par siempre será paralelo.
4. Demuestre que las diagonales se bisecan entre sí (que se pueden dividir en dos partes iguales donde se cruzan).
Éste es un poco más difícil de visualizar. Pero puedes jugar con él tomando dos palos de diferentes tamaños y cruzándolos en el medio de ambos palos. Estos dos palos son las diagonales dentro de su paralelogramo. Verás que no importa cómo cruces tus palos, siempre que se crucen en el medio, siempre obtendrás un paralelogramo. Tus dos palos son las líneas azul y verde. Puedes ver que estas son las diagonales dentro del paralelogramo.
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5. Demuestre que ambos pares de ángulos opuestos son congruentes.
Si ambos pares de ángulos opuestos son congruentes, entonces tus pares de lados opuestos siempre estarán a la misma distancia, asegurándote de que permanezcan paralelos y congruentes. Puedes probar esto haciendo dos ángulos idénticos y luego colocando los dos ángulos uno frente al otro para que el otro par de ángulos opuestos también sean congruentes. Entonces verás que siempre obtendrás un paralelogramo.
Ejemplo
Ahora veamos un ejemplo:
Demuestre que el cuadrilátero PORK es un paralelogramo si el triángulo PRK es isósceles con base KR y el triángulo POR también es isósceles con base OP. El ángulo PRK también es congruente con el ángulo RPO.
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Comenzamos haciendo nuestras marcas necesarias para mostrar nuestra información dada. Coloque marcas de graduación en los lados KP, PR y OR para mostrar que son todos iguales, ya que ambos triángulos son isósceles y comparten un lado común. Un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados iguales y un tercer lado llamado base. Los dos ángulos próximos a la base también son congruentes. También colocamos marcas congruentes en los ángulos K, PRK, O y OPR.
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Ahora podemos seguir adelante con nuestra prueba.
Declaración | Razón |
---|---|
El triángulo PRK es isósceles con base KR | Dado |
El triángulo ROP es isósceles con base OP | Dado |
Lado PK = Lado PR | El triángulo PRK es isósceles, por lo tanto los lados son congruentes |
PR lateral = PR lateral | Reflexivo |
Lado PR = Lado OR | El triángulo POR es isósceles, por lo tanto, los lados son congruentes |
Ángulo PRK = Ángulo RPO | Dado |
Ángulo K = KRP | El triángulo PRK es isósceles, por lo tanto, los ángulos de la base son congruentes |
Ángulo O = Ángulo OPR | El triángulo POR es isósceles, por lo que los ángulos de la base son congruentes |
Ángulo K = Ángulo O | Transitivo |
Triángulo PRK = Triángulo ROP | AAS (Teorema del lado del ángulo del ángulo) |
Ángulo KPR = Ángulo ORP | Ángulo congruente de triángulos congruentes |
Ángulo KRO = Ángulo KPO | Ángulo KRP + Ángulo PRO = Ángulo KPR + Ángulo OPR porque Ángulo KRP = Ángulo OPR y Ángulo KPR = Ángulo PRO |
El cuadrilátero PORK es un paralelogramo | Ambos pares de ángulos opuestos son congruentes |
Con esta prueba, probamos que el cuadrilátero es un paralelogramo al demostrar que ambos pares de ángulos opuestos son congruentes.
Hacer su prueba puede llevar un tiempo, y definitivamente hay más de una forma de hacerlo. Lo más importante que debe recordar es que su prueba debe demostrar una de las cinco formas mencionadas.
Resumen de la lección
Revisemos. Un cuadrilátero es una forma plana de cuatro lados. Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados opuestos y paralelos.
Para probar que un cuadrilátero es un paralelogramo, debes usar una de estas cinco formas.
- Demuestre que ambos pares de lados opuestos son paralelos.
- Demuestre que ambos pares de lados opuestos son congruentes.
- Demuestre que un par de lados opuestos es congruente y paralelo.
- Demuestre que las diagonales se bisecan entre sí.
- Demuestre que ambos pares de ángulos opuestos son congruentes.
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