Demostrar las reglas de suma y diferencia para derivados

Derivados, reglas y pruebas

El lenguaje puede ser confuso y algunas cosas no deben tomarse literalmente. ¿Ves a Derifun mirando el desierto de esta noche? La tarea es desarrollar algunas pruebas para dos reglas derivadas y alguien le dijo a Derifun, “la prueba está en el pudín”.

Podemos ayudar a Derifun con las matemáticas, pero primero tenemos que sacarnos del refrigerador.

¿Dónde está la prueba?

Afortunadamente, es sencillo probar las reglas de suma y diferencia para derivadas, como mostraremos en esta lección. ¡Encontrar la prueba en el pudín sería mucho más complicado!

Derivada de la suma o diferencia de dos funciones

Derifun solicita una revisión rápida de la notación derivada. En una línea escribe:

En palabras: y prima es lo mismo que f prima de x, que es lo mismo que d por d x f de x . El uso de un ‘primo’ para la derivada a veces se denomina notación prima . La última parte con ‘lim’ es la definición de la derivada .

Generalmente, al demostrar algo en matemáticas, usamos definiciones e información previamente probada. Por ejemplo, en esta lección usamos la definición de derivada para demostrar los resultados de la suma y las diferencias. Pero Derifun tiene más preguntas.

¿Qué pasaría si tuviéramos una función llamada h ( x ) y quisiéramos escribir la derivada? Respuesta: necesitaríamos h ( x + Δ x ) – h ( x ) para el numerador.

¿Qué pasa si h ( x ) es en realidad la suma de f ( x ) y g ( x )? Respuesta: ¡No hay problema! Si h ( x ) es f ( x ) + g ( x ), entonces h ( x + Δ x ) es f ( x + Δ x ) + g ( x + Δ x ).

Ahora tenemos todas las piezas para demostrar la regla de la derivada que involucra a f ( x ) + g ( x ).

Centrándonos en el lado derecho, decidimos agrupar los términos ‘f’ y los términos ‘g’:

Una propiedad de los límites es el límite de una suma es la suma de los límites . Esta es la parte de la prueba donde usamos información previamente probada. Ahora escribimos el límite de la expresión a la derecha como la suma de dos límites.

“Esta última parte es realmente agradable”, dice Derifun. Cada término con su propio límite es una derivada. La primera expresión es la derivada de f ( x ) mientras que la segunda expresión es la derivada de g ( x ). Volviendo a la derivada de la suma de dos funciones, tenemos nuestra prueba completa:

Podríamos escribir este resultado usando la notación prima: [f ( x ) + g ( x )] ‘= f’ ( x ) + g ‘( x ).

Aunque podríamos repetir los mismos pasos para mostrar que la derivada de una diferencia es la diferencia de derivadas, usaremos la sustitución. ¿Y si la segunda función, g ( x ), fuera -g ( x )? Entonces, la derivada de -g ( x ) es -g ‘( x ). Además, [f ( x ) + g ( x )] ‘= f’ ( x ) + g ‘( x ) se convierte en [f ( x ) – g ( x )]’ = f ‘( x ) – g’ ( x ). Esa fue una prueba deliciosa, pero no tan sabrosa como el pudín. Por cierto, después de todas estas matemáticas, ¿Derifun nos dejó algún pudín?

Resumen de la lección

Una forma de expresar la derivada es usar la notación prima . En notación prima, las dos reglas derivadas probadas en esta lección son

[f ( x ) + g ( x )] ‘= f’ ( x ) + g ‘( x )

[f ( x ) – g ( x )] ‘= f’ ( x ) – g ‘( x )

Estas reglas se prueban utilizando la definición de derivada y el hecho de que el límite de una suma es la suma de los límites .