Usar dilataciones para demostrar que las figuras son similares

Observarlo frente a demostrar similitud

Has estado rodeado de figuras similares y dilatación toda tu vida. Tus pupilas, por ejemplo, se dilatan. Cambian de tamaño, pero mantienen la misma forma. Pero, ¿qué pasaría si quisieras probar que dos figuras, digamos triángulos, son similares? Las matemáticas tienen una forma: usa dilataciones.

Dilatación

Una dilatación cambia el tamaño de una figura al estirar o encoger la figura usando un factor de escala dado . Si el factor de escala es menor que uno (por ejemplo, 1/2), la imagen será más pequeña que la imagen original (la mitad del tamaño). Si el factor de escala es mayor que uno (por ejemplo, 2), la imagen será más grande (el doble) que la imagen original.

Cuando se traza una imagen en un plano de coordenadas, el centro de dilatación es un punto fijo en ese plano alrededor del cual todos los puntos se estiran o encogen. Cuando una imagen en el plano se dilata por un factor de escala de un número negativo, la figura rotará alrededor del centro de dilatación 180 grados.

Las dilataciones no siempre ocurren en un plano de coordenadas. Si la imagen no está en un plano de coordenadas, para dilatarla, cada segmento de la figura debe multiplicarse por el valor absoluto del factor de escala.

Esta imagen muestra una dilatación con un factor de escala de -2. El valor absoluto de -2 es 2, por lo tanto, la longitud de cada segmento se multiplica por 2.

Si la dilatación ocurre en un plano de coordenadas, cuando se le dan las coordenadas de la imagen previa y un factor de escala, las nuevas coordenadas de la imagen se pueden encontrar multiplicando el factor de escala por las coordenadas originales.

Esta imagen muestra una dilatación con un factor de escala de 0,5. Cada coordenada (x, y) se multiplica por el factor de escala para encontrar las nuevas coordenadas.

Semejanza

Para que dos figuras sean similares , deben tener medidas angulares correspondientes y lados proporcionales congruentes (iguales). Las dilataciones crean figuras similares porque multiplicar por el factor de escala crea lados proporcionales mientras deja la medida del ángulo y la forma iguales.

Problema de ejemplo 1: ¿Es el triángulo ‘gato’ similar al triángulo ‘perro’?

Para verificar la similitud, debemos verificar los tres componentes clave de imágenes similares:

1 – ¿Tienen la misma forma? Sí, ambos son triángulos.

2 – ¿Tienen ángulos correspondientes congruentes? Sí, ángulo c = ángulo d = 40 grados; Ángulo a = Ángulo o = 45 grados; Ángulo t = Ángulo g = 85 grados.

3 – ¿Tienen lados proporcionales? Este requiere un poco más de trabajo. Aquí, configure proporciones (o fracciones) para ver si la longitud de cada lado correspondiente se ha multiplicado por el mismo factor de escala.

ca: do = 3: 4.5 para encontrar el factor de escala dividir 4.5 por 3 = 1.5

en: og = 2.5: 3.75 para encontrar el factor de escala dividir 3.75 por 2.5 = 1.5

tc: gd = 4: 6 para encontrar el factor de escala dividir 6 por 4 = 1.5

Sí, el triángulo ‘gato’ y el triángulo ‘perro’ tienen lados proporcionales. Sabemos esto porque podemos multiplicar cada segmento de línea en el triángulo gato (imagen previa) por un factor de escala de 1.5 para dar como resultado el triángulo perro (imagen).

Hemos demostrado que el triángulo ‘gato’ es similar al triángulo ‘perro’.

Problema de ejemplo 2: Cree una figura similar usando un factor de escala de 3.

Para crear una figura similar, primero debemos encontrar las coordenadas de la preimagen dada para el rectángulo MATH.

M: (-2, 2) A: (1, 2) T: (1, 1) H: (-2, 1)

Luego, multiplique cada número en la coordenada por el factor de escala de 3.

M ‘: (-2×3, 2×3) A’: (1×3, 2×3) T ‘: (1×3, 1×3) H’: (-2×3, 1×3)

M ‘: (-6, 6) A’: (3, 6) T ‘: (3, 3) H’: (-6, 3)

Con estas nuevas coordenadas sabemos que las dos figuras serán similares porque:

1- Tienen la misma forma: rectángulos.

2- Tienen ángulos correspondientes congruentes – debido a que ambos son rectángulos, sabemos que todos los ángulos son de 90 grados.

3- Tienen lados proporcionales: cada lado se estiró con un factor de escala de 3.

Resumen de la lección

Se pueden usar dilataciones para demostrar que las figuras son similares al encontrar el factor de escala entre las dos imágenes y asegurarse de que los lados sean proporcionales. Para encontrar el factor de escala, use las longitudes de los lados correspondientes, establezca una razón y divida. Las transformaciones de dilatación aseguran que la forma permanecerá igual y que los ángulos correspondientes serán congruentes. Estos tres componentes de las formas – proporcionalidad, ángulos correspondientes congruentes y compartir la misma forma – prueban que las figuras son similares.