Demostrar el teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo

Cualquier teorema llamado “el teorema fundamental” tiene que ser bastante importante. De hecho, este es el teorema que vincula el cálculo derivado con el cálculo integral. Este teorema tiene dos partes. En esta lección, mostramos cómo probar cada una de las dos partes.

Primera parte: una función y su derivada

Una función es continua si no faltan puntos cuando graficamos la función. Si f es continua en [ a , b ], entonces la función F definida por:

• es continuo en [ a , b ]
• se puede diferenciar en [ a , b ]
• F ′ ( x ) = f ( x )

f es continuo

Echemos un vistazo más de cerca a esta función, F ( x ):

En el lado derecho tenemos el área bajo la curva, f ( t ), entre a y x :

F (x) es el área bajo la curva de a a x

Podemos tomar la derivada de F ( x ) usando la definición de la derivada:

Usando nuestra definición de F ( x ):

La primera integral:

El área de a a x + delta x

La segunda integral es el área desde a hasta x . Por lo tanto, si restamos la segunda integral de la primera, obtenemos la zona de x a x + Δ x :

Por tanto, la derivada de F ( x ) es:

Hay un valor, c , entre x = a y x = b . Si tenemos f ( c ) multiplicado por Δ x , entonces esta área es la misma que la integral de f ( t ) desde x hasta x + Δ x :

Para algunos c, el área del rectángulo es igual al área bajo la curva

Otra forma de decir esto es:

Dividiendo ambos lados por Δ x :

Comparando esto con nuestra definición de la derivada de F ( x ):

Pero cuando Δ x va a 0, c va al punto de la izquierda en este intervalo, que es x . Por tanto, F ′ ( x ) = f ( x ).

Esto prueba la primera parte del teorema fundamental del cálculo porque dice que cualquier función continua tiene una anti-derivada. Si diferencia la anti-derivada de una función, obtiene la función. Diferenciar F ( x ) da f ( x ). Por tanto, la anti-derivada de f ( x ) es F ( x ).

Segunda parte: evaluar una integral definida usando la anti-derivada

La segunda parte del teorema fundamental del cálculo dice que si f es continua en el intervalo de a a b , entonces

donde F es cualquier anti-derivado de f .

Comenzamos esta parte de la demostración definiendo una función g ( x ):

De la primera parte del teorema, sabemos g ′ ( x ) = f ( x ). Ahora, definimos otra función h ( x ):

Diferenciando ambos lados:

Pero g ′ ( x ) = f ( x ) y F ′ ( x ) = f ( x ).

Por lo tanto, h ′ ( x ) = 0. Esto significa que h ( x ) es constante en [ a , b ].

En particular, h ( b ) = h ( a ). Usando la definición de h ( x ) y reemplazando x con by luego con a :

Escribiendo g ( b ) como sujeto:

Regrese a nuestra definición de g ( x ). En esta definición, usamos una integral de f ( t ) desde a hasta x . Ahora podemos escribir:

La integral del lado derecho de a a a es igual a 0. Por lo tanto,

Esto es exactamente lo que queríamos demostrar en la segunda parte del teorema. Entonces, hemos terminado.

Resumen de la lección

Una función es continua si no faltan puntos cuando graficamos la función. Si diferencia la anti-derivada de una función, obtiene la función. La primera parte del teorema fundamental del cálculo dice que una función continua tendrá una anti-derivada y, además, esta anti-derivada es continua. La segunda parte del teorema fundamental del cálculo dice que la integral de una función f ( t ) de a a b es igual a la anti-derivada de f ( t ) evaluada en b menos la anti-derivada de f ( t ) evaluada en b .