Rodrigo Ricardo

Cuadrilátero cíclico: definición, propiedades y reglas

Publicado el 23 noviembre, 2020

Cuadrilátero cíclico: definición

La palabra cíclico a menudo significa circular, solo piense en esas dos ruedas circulares en su bicicleta. Cuadrilátero significa figura de cuatro lados. Póngalos juntos y obtendremos la definición de cuadrilátero cíclico : cualquier figura de cuatro lados (cuadrilátero) cuyos cuatro vértices (esquinas) se encuentran en un círculo.

No todos los cuadriláteros son cíclicos, pero apuesto a que puedes nombrar algunos familiares. Cada rectángulo, incluido el caso especial de un cuadrado, es un cuadrilátero cíclico porque se puede dibujar un círculo alrededor de él tocando los cuatro vértices. Sin embargo, ningún paralelogramo no rectangular es cíclico. No hay forma de dibujar un círculo alrededor de uno que toque los cuatro vértices del paralelogramo no rectangular.


Cuatro cuadriláteros cíclicos diferentes
Cuatro cuadriláteros cíclicos diferentes

Propiedades de los cuadriláteros cíclicos

Los cuadriláteros cíclicos son más que círculos. Aquí hay una propiedad de los cuadriláteros cíclicos que pronto verá que puede ayudar a identificarlos:

  • La suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es 180 grados.

En otras palabras, ángulo A + ángulo C = 180 y ángulo B + ángulo D = 180.


Cuadrilátero cíclico etiquetado
cuadrilátero cíclico con etiquetas

Hay muchas formas de demostrar esta propiedad, pero la más rápida tiene que ver con las medidas del arco y los ángulos inscritos. Para refrescar su memoria, un ángulo inscrito es un ángulo que tiene su vértice en la circunferencia del círculo. Puedes ver que todos los ángulos de nuestro cuadrilátero cíclico son ángulos inscritos. También sabemos que la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida de su arco interceptado, según el teorema del ángulo interior. Usemos esto para demostrar que la suma de los ángulos opuestos del cuadrilátero cíclico es 180 grados.

En nuestra figura, el arco BCD interceptado por el ángulo A y el arco DAB interceptado por el ángulo C juntos forman el círculo completo. Entonces, las medidas de los arcos BCD y DAB juntas suman 360 grados. Recuerda que cada círculo tiene 360 ​​grados.

Sabemos que los ángulos opuestos A y C del cuadrilátero cíclico son ángulos inscritos. A partir del teorema del ángulo inscrito, también sabemos que la medida del ángulo A es la mitad de la medida de su arco BCD, y la medida del ángulo C es la mitad de la medida de su arco DAB.

Entonces, juntos, la suma de los ángulos A y C es la mitad de la suma de los arcos BCD y DAB. En otras palabras, la suma de estos ángulos es la mitad de 360 ​​o 180. ¡Hemos terminado!

Esta propiedad también funciona a la inversa:

  • Si un par de ángulos opuestos de un cuadrilátero es suplementario, es decir, la suma de los ángulos es 180 grados, entonces el cuadrilátero es cíclico.

Tenga en cuenta que todo lo que se necesita es un par de ángulos opuestos para ser suplementario, porque si un par de ángulos suma 180, entonces el otro par también debe sumar 180. Esto se debe a que los cuatro ángulos de cualquier cuadrilátero deben sumar 360 grados.

Por ejemplo, suponga que tenemos un cuadrilátero ABCD, y sabemos que el ángulo B = 50 y el ángulo D = 130. Dado que 50 + 130 = 180, el par de ángulos opuestos es suplementario y podemos concluir que ABCD es un cuadrilátero cíclico.

Trapezoides cíclicos

Algunos trapezoides son cíclicos y otros no. Afortunadamente, hay una manera fácil de saberlo.

  • Un trapezoide es cíclico si y solo si, y solo si, es isósceles. Es decir, los dos lados no base son iguales.

Trapecio isósceles
Trapecio isósceles

¡La prueba es fácil! En el trapezoide ABCD, los ángulos A y D son suplementarios. Son ángulos interiores del mismo lado con respecto a los segmentos paralelos AB y DC. En otras palabras, ángulo A + ángulo D = 180.

Pero en un trapezoide isósceles, no solo los lados son iguales, sino que también los ángulos de la base son iguales. Entonces ángulo C = ángulo D. Por lo tanto, ángulo A + ángulo D = ángulo A + ángulo C = 180, lo que demuestra que los ángulos A y C también deben ser suplementarios. Como hemos encontrado un par de ángulos opuestos que son suplementarios, el cuadrilátero debe ser cíclico.

Resumen de la lección

Un cuadrilátero cíclico es cualquier figura geométrica de cuatro lados cuyos vértices se encuentran todos en un círculo. Todos los rectángulos son cíclicos, pero muchos otros cuadriláteros no lo son. En un cuadrilátero cíclico, la suma de cada par de ángulos opuestos es 180 grados. Si un cuadrilátero tiene un par de ángulos opuestos que suman 180, entonces sabes que es cíclico. Un trapezoide es cíclico si, y solo si, es isósceles.

Los resultados del aprendizaje

Obtener conocimiento de los cuadriláteros cíclicos a través de esta lección podría aumentar su capacidad para:

  • Diseccionar el término ‘cuadrilátero cíclico’
  • Describe las propiedades de los cuadriláteros cíclicos.
  • Determinar si un trapezoide es cíclico

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