Independencia lineal: definición y ejemplos

Definición de independencia lineal

Gus es un estudiante de física que pronto debe entregar un artículo sobre la independencia lineal. ¿Cómo diablos va a abordar esto? En su investigación, obtuvo las siguientes tres ecuaciones de algunos experimentos en un laboratorio de física:

x + y + z = 0

2 x – y + z = 0

3 x + 2 y – z = 0

Si estas tres ecuaciones son independientes entre sí, Gus podrá usarlas para escribir su trabajo de investigación. Si estas tres ecuaciones dependen una de la otra, Gus aún podría hacer todo ese trabajo solo para descubrir que su punto de partida fue mal elegido. ¿Hay alguna forma de que Gus sepa si las tres ecuaciones son independientes o dependientes? Afortunadamente para Gus, hay una forma de comprobar esto antes de que haga todo ese trabajo: independencia lineal.

Lo que Gus quiere saber, y en lo que la independencia lineal puede ayudarlo, es si las tres ecuaciones le dan nueva información o si al menos una de las tres ecuaciones se puede expresar como una combinación de las otras dos. Si al menos una de las ecuaciones se puede describir en términos de las otras ecuaciones, se dice que el sistema es linealmente dependiente . Si no hay forma de escribir al menos una ecuación como una combinación lineal de las otras ecuaciones, entonces el sistema es linealmente independiente .

Prueba de independencia lineal

Ahora que sabemos lo que significa la independencia lineal, ¿hay alguna forma de probarla? Resulta que hay una forma matemática de probar esta información, utilizando determinantes matriciales. Un determinante es un número único que se obtiene al multiplicar y sumar los elementos de una matriz cuadrada de una manera específica. Si el determinante de la matriz correspondiente a las tres ecuaciones que tiene Gus es cero, entonces sus tres ecuaciones son dependientes y tendrá que volver atrás y establecer más experimentos y tomar más medidas antes de escribir su artículo. Por otro lado, si el determinante es distinto de cero, sus ecuaciones son independientes y puede seguir adelante con el trabajo de redactar su trabajo sin temor a que ese esfuerzo se desperdicie.

Veamos algunos ejemplos simples antes de verlos como las ecuaciones de Gus.

Ejemplos simples de prueba de independencia lineal

Suponga que tiene las siguientes dos ecuaciones:

x + 3 y = 0

2 x + 6 y = 0

Para el ojo entrenado, debería ser obvio que las dos ecuaciones dependen una de la otra porque la segunda ecuación es solo un múltiplo de la primera. Sin embargo, vamos a comprobarlo usando determinantes.

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en forma de matriz. Hacemos esto poniendo los coeficientes de cada tipo de variable en sus propias columnas, y luego podemos calcular el determinante.

El determinante de esta matriz es simplemente (1) (6) – (2) (3) = 6 – 6 = 0. Dado que el determinante de la matriz equivalente es igual a 0, eso significa que el sistema de ecuaciones es linealmente dependiente.

Probemos otro antes de comprobar las ecuaciones de Gus:

x – y = 0

2 x + 6 y = 0

¿Entendiste que la segunda ecuación no es simplemente un múltiplo de la primera ecuación? Comprobemos usando el determinante. En forma de matriz, este sistema se ve así:

El determinante de esta matriz es (1) (6) – (2) (- 1) = 6 – (-2) = 6 + 2 = 8. Este determinante no es cero y, por lo tanto, este conjunto de ecuaciones es linealmente independiente.

Ejemplo más grande de prueba de independencia lineal

Ahora que sabemos cómo funciona la prueba, veamos si Gus puede comenzar a trabajar en su trabajo o si tiene más trabajo que hacer en el laboratorio. ¿Su conjunto de ecuaciones es linealmente independiente?

Primero escribe las ecuaciones en forma de matriz:

Ahora encontremos el determinante. Hay varias formas de encontrar el determinante de esta matriz: varios métodos de cálculo manual, calculadoras científicas o calculadoras de determinantes en línea. Si tiene acceso a Internet, el último solo toma unos segundos, mientras que el método manual puede demorar varios minutos y ser propenso a errores humanos. Hemos incluido el método de una mano a continuación:

(1) (- 1) (- 1) + (1) (1) (3) + (1) (2) (2) – (3) (- 1) (1) – (2) (1) ( 1) – (-1) (2) (1)

= 1 + 3 + 4 – (-3) – 2 – (-2)

= 1 + 3 + 4 + 3 – 2 + 2

= 11

¡Buenas noticias para Gus! Dado que el determinante de la matriz que representa sus tres ecuaciones es 11 (no cero), sus ecuaciones resultan ser linealmente independientes. Eso, a su vez, significa que ha terminado con los experimentos de laboratorio necesarios para respaldar el trabajo que quiere escribir.

Resumen de la lección

Un conjunto de ecuaciones es linealmente independiente si no hay forma de combinar cierto número de ecuaciones para obtener otra de las ecuaciones enumeradas. La prueba de independencia lineal utiliza determinantes matriciales. Un determinante es un número único que se obtiene de una matriz al multiplicar y sumar esos números en una combinación específica. Una matriz con un determinante distinto de cero significa que el sistema de ecuaciones es linealmente independiente. Un determinante cero significa que el conjunto de ecuaciones es linealmente dependiente, lo que significa que hay una manera de combinar algunas de las ecuaciones para obtener una de las otras ecuaciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador