Graficar la tangente desde el círculo unitario

El círculo de la unidad

¿Sabías que un círculo con un radio de una unidad cuyo centro está en el origen se llama círculo unitario ? Hay mucha información que podemos obtener del círculo unitario simple. El círculo unitario nos ayuda con la trigonometría , que es el estudio de las relaciones de ángulos y lados en triángulos.

Para empezar, veamos el círculo unitario. Nuevamente, el centro está en el origen, o (0, 0), y el radio es una unidad.

Círculo de unidad básica que muestra cuatro cuadrantes. El radio del círculo es una unidad.

Como se puede ver, el círculo unitario se divide naturalmente en cuatro secciones por el x eje x y la y eje x. Dado que un círculo completo mide 360 ​​grados, si lo dividimos entre cuatro, entonces cada sección mide 90 grados. Podemos seguir adelante y etiquetar la medida del ángulo para cada sección. Todos los ángulos comienzan en el eje x positivo y se mueven en sentido antihorario. Entonces, en el punto (0, 1), hemos avanzado 90 grados. En el punto (-1, 0) hemos avanzado 180 grados. En (0, -1) hemos viajado 270 grados. Cuando volvemos a (1, 0), hemos recorrido 360 grados completos.

Círculo unitario de 360 ​​grados con cada cuadrante que consta de 90 grados.

Luego, podemos dividir cada sección de un cuarto por la mitad, lo que nos da ángulos que son múltiplos de 45 grados. Cada uno de estos ángulos tiene coordenadas para un punto en el círculo unitario.

Círculo unitario de 360 ​​grados con cada cuadrante de 90 grados dividido en dos para formar dos secciones de 45 grados del cuadrante dentro del círculo trigonométrico.

Las coordenadas de los puntos en el círculo unitario nos ayudan a encontrar la tangente de cada ángulo. Como puede ver con esta ecuación, la tangente de un ángulo es igual a la coordenada y dividida por la coordenada x .

Para cada ángulo, comience dividiendo cada coordenada y por la coordenada x para obtener la tangente de ese ángulo. Por ejemplo, para encontrar la tangente de 45 grados, tome la coordenada y de la raíz cuadrada de dos sobre dos y divídala por la coordenada x de la raíz cuadrada de dos sobre dos. Recuerde, para dividir fracciones, voltee la segunda fracción y multiplique las dos. El resultado es uno.

Podemos hacer este mismo proceso para todos los ángulos del círculo unitario. Cuando llegamos a 90 grados, terminamos dividiendo por cero. Como no podemos dividir por cero, la tangente de 90 grados no está definida. Lo mismo sucede cuando llegamos a 270 grados, por lo que la tangente de 270 grados tampoco está definida.

Podríamos continuar de esta manera para encontrar la tangente para todos los valores en el círculo unitario. Ahora grafiquemos estos valores en el plano de coordenadas.

Graficar la función tangente

Ahora que conocemos la tangente de cada ángulo, podemos usar estos valores para graficar la función tangente. La gráfica de la función tangente se puede encontrar usando las medidas de los ángulos como la horizontal ( eje x ) y la tangente como la vertical ( eje y ).

Primero, dibujamos y etiquetamos nuestros ejes. El eje y es el eje dependiente, lo que significa que los valores de y dependen de los valores de x . Dado que los valores de la tangente dependen de la medida del ángulo, la medida del ángulo es independiente y los valores de la tangente son dependientes. Dado que estamos graficando de cero a 360 grados, así es como etiquetaremos el eje x . Si miramos los valores de la tangente, el más bajo es -1 y el valor más alto es 1, entonces sabemos que necesitamos tener estos valores en el eje y . La tangente continúa haciéndose más grande y más pequeña que 1 y -1, respectivamente, por lo que podemos etiquetar más números en el eje y .

Gráfica para la gráfica de tangente de círculo unitario, con el eje x representando cada ángulo de medida y el eje y representando la tangente calculada.

Para graficar, comenzaremos con los valores donde la función tangente no está definida. No está definido a 90 grados y 270 grados, por lo que colocaremos una asíntota vertical a 90 y 270 grados. Una asíntota es una línea en la que una función no está definida. La función se acercará más y más a esta línea, pero nunca tocará ni cruzará esta línea.

Gráfico de disparo que muestra la asíntota vertical para cada tangente indefinida dentro del círculo unitario.

A continuación, trazaremos los puntos de la tabla.

Gráfico de activación que muestra cada unidad de círculo tangente trazada, incluidas las asíntotas.

Finalmente, conectamos los puntos para graficar la función. Aunque solo trazamos puntos en uno y uno negativo, cada sección del gráfico continúa acercándose cada vez más a las asíntotas sin tocarlas.

Gráfico de disparo que muestra cada tangente trazada en el área dentro de cada asíntota.

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a repasar lo que hemos aprendido aquí sobre cómo graficar una tangente desde el círculo unitario. Podemos usar el círculo unitario para graficar la función tangente. El círculo unitario es un círculo cuyo centro está en el origen, (0,0), y tiene un radio de una unidad. El círculo unitario tiene muchos ángulos diferentes y cada uno tiene un punto correspondiente en el círculo. Las coordenadas de cada punto nos dan una forma de encontrar la tangente de cada ángulo. La tangente de un ángulo es igual a la coordenada y dividida por la coordenada x . El valor de la tangente no está definido en ciertas medidas de ángulos porque terminamos tratando de dividir por cero. El lugar donde una función no está definida se llama asíntota .

Para graficar la función tangente, utilizamos los siguientes pasos que debe tener en cuenta:

1. Encuentre la función tangente del círculo unitario dividiendo cada valor de y por el valor de x .
2. Dibuja y rotula un conjunto de ejes x e y . Deje que el eje x represente la medida del ángulo y que el eje y represente el valor de la tangente.
3. Dibuja líneas de puntos para representar las asíntotas verticales donde la función tangente no está definida.
4. Trace puntos, usando el eje x para la medida del ángulo y el eje y para la tangente; y finalmente
5. Conecte los puntos con curvas que abrazan las asíntotas en cualquier dirección.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador