Recta tangente: definición y ecuación

¿Qué es una línea tangente?

Digamos que estamos en una montaña rusa … ¡en el espacio! Estamos sujetos a la vía por las ruedas del carro, pero si el carro se desconectara repentinamente de la vía, nos saldríamos de la vía en línea recta debido a la falta de gravedad. Por supuesto, sería bueno que nos rescataran del espacio, entonces, ¿qué línea seguirían los rescatistas para encontrarnos? Resulta que encontrarían nuestro carro a lo largo de una línea muy especial llamada línea tangente, como la que está viendo ahora:

Una línea tangente es una línea recta que apenas toca una curva en un punto. La idea es que la línea tangente y la curva vayan en la misma dirección en el punto de contacto. Si tenemos una curva muy ondulada, la línea tangente y la curva no parecen tener mucho en común porque la línea tangente es perfectamente recta. Sin embargo, a medida que nos acercamos cada vez más al punto donde la línea tangente toca la curva, podemos ver que tienen más en común de lo que pensamos, ¡y se ven bastante similares!

Definición matemática

Ahora que tenemos una idea conceptual de lo que es una línea tangente, necesitamos entender cómo definir una matemáticamente. Hay dos elementos importantes para encontrar una ecuación que defina una línea tangente: su pendiente y su punto de contacto con una curva. La pendiente de una línea es su inclinación o tasa de cambio tanto horizontal como verticalmente a medida que se aleja del origen.

Para encontrar la pendiente de una recta tangente, en realidad miramos primero a la recta secante de una ecuación , o una recta que conecta dos puntos en una curva. Para encontrar la ecuación de una línea, necesitamos la pendiente de esa línea. Con una recta tangente, eso puede ser complicado, pero con una recta secante, porque tenemos dos puntos, ¡no hay problema!

La pendiente de esta recta secante, que pasa por los puntos ( a , f ( a )) y ( a + h , f ( a + h )) que se muestran en la siguiente fórmula. Es posible que reconozca esta fórmula del precálculo; se llama cociente de diferencias:

• pendiente de la recta secante = [f ( x + h ) – f ( x )] / h

Entonces, ¿cómo nos ayuda esto con la línea tangente? Bueno, imagina que tomamos ese segundo punto ( a + h , f ( a + h )) y lo acercamos a nuestro primer punto. ¡Cuanto más se acerca al primer punto, más comienza a parecerse la recta secante a la recta tangente! Lo acercamos más y más y más … que es la idea matemática de un límite. Cuando h se acerca a cero, esto convierte nuestra recta secante en nuestra recta tangente, ¡y ahora tenemos una fórmula para la pendiente de nuestra recta tangente! Es el límite del cociente de diferencias cuando h se acerca a cero.

Suponiendo que está familiarizado con los conceptos básicos del cálculo, reconocerá esto como la definición de la derivada de nuestra función f ( x ) en x = a , denotada en notación prima como f ‘( a ). La derivada de una función es la tasa instantánea de cambio de la función y la pendiente de la recta tangente a la curva.

Ecuación de la recta tangente

Ahora que tenemos la pendiente de la recta tangente, todo lo que necesitaríamos es un punto en la recta tangente para completar la ecuación de nuestra recta. Eso es fácil, porque sabemos que nuestra recta tangente pasó por el punto ( a , f ( a )). Construyamos ahora la ecuación de nuestra línea usando la forma punto-pendiente de una línea:

• y – y 1 = m ( x – x 1), donde ( x 1, y 1) es un punto conocido en la línea y m es la pendiente de la línea

Las ecuaciones son válidas para casi todos los puntos de una curva y = f ( x ):

• y – f ( a ) = f ‘( a ) ( x – a )
• y = f ( a ) + f ‘( a ) ( x – a )

Hay algunas excepciones:

• En el caso especial donde una línea tangente es vertical, su pendiente no estaría definida y no podríamos usar la ecuación de antes. En este caso, usaríamos la ecuación de una línea vertical que pasa por el punto ( a , f ( a )), que sería simplemente la ecuación x = a .
• Si la función es discontinua donde x = a (como en los huecos, roturas o saltos en el gráfico), la función no tiene una línea tangente en ese punto, o finalmente
• Si la función tiene una esquina o un borde agudo en x = a , la función no tiene una línea tangente a ella en ese punto. Las líneas tangentes solo existen donde la curva de la función es suave.

Ejemplo

Encontremos la ecuación de la recta tangente a la curva de la función f ( x ) = x ^ 2 cuando x = 1. Ya tenemos el valor x del punto ( x = 1), pero para determinar el correspondiente Valor de y , sustituyamos x = 1: f (1) = (1) ^ 2 = 1. Entonces, sabemos que el punto es (1,1).

A continuación, busquemos la pendiente de la recta, que sería la derivada en x = 1:

• f ‘( x ) = 2x y f’ (1) = 2

Entonces la ecuación de nuestra línea se convierte en:

• y = f (1) + f ‘(1) ( x – 1), que se simplifica a
• y = 1 + 2 ( x – 1), que se simplifica aún más a
• y = 2 x – 1

La gráfica de y = x ^ 2 y y = 2 x – 1 confirma visualmente que hemos calculado la recta tangente correctamente, ¡y hemos terminado!

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar qué es una recta tangente y cuál es su ecuación. Una línea tangente es una línea recta que apenas toca una curva en un punto. La idea es que la línea tangente y la curva vayan en la misma dirección exacta en el punto de contacto. La pendiente , o la inclinación, de la línea tangente está determinada por la tasa de cambio instantáneo de la función en ese punto. La pendiente de la línea se encuentra creando una función derivada basada en el enfoque de una línea secante a la línea tangente. Una línea secante es una línea que conecta dos puntos en una curva.

Para curvas suaves y continuas con pendientes no verticales, podemos calcular la línea tangente usando la fórmula:

• y = f ( a ) + f ‘( a ) ( x – a )

Si la curva tiene una línea tangente vertical, la ecuación se reduce ax = a , y si la curva tiene una ruptura o una esquina pronunciada, entonces la curva no tiene una línea tangente en ese punto.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador