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Vértice: definición, función y ejemplos

Publicado el 23 noviembre, 2020

¿Qué significa vértice?

Un vértice es el lugar donde se encuentran dos líneas o curvas, por eso las esquinas de los polígonos y poliedros se llaman vértices. Cuando dos líneas rectas se encuentran en un vértice, crean un ángulo incluido, que es el ángulo interno producido por esas dos líneas.

Sin embargo, cuando dos curvas se encuentran, a menudo crean una parábola (o una línea similar a una parábola). Matemáticamente, una parábola es fácil de graficar y calcular con funciones básicas debido a su regularidad. El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la parábola, dependiendo de en qué dirección mire la parábola. Una parábola que se inclina hacia abajo en todas direcciones parece una colina y su vértice estará en su punto más alto. Una parábola que se inclina hacia arriba en todas direcciones parece una “u” y su vértice estará en su punto más bajo.

¿Cómo se ve un vértice?

Si se ha graficado la parábola o función, generalmente puedes encontrar el vértice simplemente ubicando el punto más alto o más bajo de la curva.

Dos parábolas con sus vértices marcados.

En esta imagen, los vértices están marcados para mostrar tanto el punto alto como el bajo de sus respectivas parábolas. En esta ubicación, la “tasa de cambio” de la función es cero. Esto significa que en el vértice, si se ampliara mucho el gráfico, la línea parecería paralela al valor y del vértice. No cambiaría el valor de y en absoluto en ese punto, por lo tanto, la tasa de cambio del valor de y de esta función (a veces mostrada como f(x) o expresada como ” f de x “) es cero en ese punto.

Definición del vértice

El vértice de una parábola es el punto más bajo o más alto de la curva, a veces llamado máximo o mínimo.

Supongamos que estás jugando a la pelota con tu pelota de fútbol en la sala de estar. Mientras le lanzas la pelota a tu madre a través de la habitación, notas que la pelota forma un bonito arco a medida que sube y luego cae suavemente en sus brazos. Como todos los objetos que se lanzan en un ángulo hacia arriba, el objeto viaja tanto horizontalmente hacia el objetivo (tu madre, en este caso) como verticalmente (hacia arriba hasta que la gravedad lo empuja hacia abajo).

Después de tu último lanzamiento de la pelota, te preocupa que tal vez la hayas lanzado demasiado alto; parece que va a raspar el techo que pasaste recién pintando la mañana. Siendo un fanático de todo lo matemático, te preguntas si sería posible trazar el camino que sigue tu balón de fútbol e incluso calcular la altura máxima del balón.

La trayectoria larga y arqueada que recorre la bola es una parábola y tiene algunos requisitos matemáticos muy específicos. Una de ellas es que tiene un máximo o mínimo claro llamado vértice. En esta imagen, cada una de las parábolas tiene un vértice:

parábolas

¿Cuál es el vértice de una función?

Las ecuaciones cuadráticas son el tipo de ecuaciones que producen parábolas, que son esas curvas bonitas y amplias que se muestran en tantos ejemplos matemáticos. La forma general o estándar de una ecuación cuadrática es:

y = ax2 + bx + c

Esta ecuación es buena para algunas otras aplicaciones, pero cuando se trata de graficar una función cuadrática, es más fácil usar lo que se conoce como la forma de vértice :

y = a(x – h)2 + k

El vértice de la función está ubicado en ( h , k ) de su forma de vértice y estará ubicado en el pico o valle de la parábola en una gráfica. Este es el punto más alto o más bajo de la función, dependiendo de su dirección.

Encontrar el vértice

Hay dos formas principales de encontrar el vértice de una ecuación cuadrática o una parábola. El primero es simplemente ubicarlo en una gráfica de la función.

Sin embargo, es posible que la función graficada no siempre esté disponible o que sea difícil determinar si el resultado es una fracción complicada. En este caso, la segunda forma de encontrar un vértice de una ecuación cuadrática es usando un poco de álgebra.

Encontrar vértices a través de gráficos

Encontrar el vértice de una función parabólica cuando se representa gráficamente es fácil cuando el vértice está representado por números enteros o fracciones simples. Simplemente encuentre el punto alto o bajo de la parábola y anote sus coordenadas:

Dos parábolas con sus vértices ubicados en (1,2) y (-2,-1).

Estas funciones han sido graficadas y sus vértices están ubicados en (1,2) y (-2,-1).

Encontrar vértices a través de ecuaciones

Si se conoce la forma del vértice de la ecuación cuadrática, las coordenadas del vértice de la parábola serán ( h , k ) y no se necesita más trabajo. Por ejemplo:

y = 2(x – 3)2 + 1

Sabiendo que ( h , k ) es el vértice, el vértice se encontrará en (3,1).

Sin embargo, esto puede resultar un poco complicado cuando se hace sin pensar en valores positivos y negativos. Por ejemplo:

y = 4(x + 2)2 – 6

Si bien ( h , k ) es el vértice, tanto h como k deben ser negativos, ya que hay una suma de h dentro de los paréntesis y una resta de k fuera de ellos. Por tanto, el vértice es (-2,-6).

Sin embargo, es posible que no se dé la forma del vértice y que la forma general sea la única forma disponible de la función. Una forma rápida de encontrar la forma del vértice es utilizar algunos cálculos simples que te ayudarán a completar el cuadrado de la función:

h = b / 2a

k = c – b2 / 4a

Usando estos dos cálculos, los valores h y k de la forma vectorial se pueden encontrar rápidamente cuando se les da la forma general. Dado que los valores h y k son iguales al vértice de la fórmula cuadrática, el uso de estas dos funciones abreviadas te da rápidamente el vértice de la parábola:

y = ax2 + bx + c

y = 4x2 – 2x + 2

h = b / 2a

h = -2 / 2.4

h = -1 / 4

k = c – b2 / 4a

k = 2 – (-22 / 4.2)

k = 2 – 4 / 8

k = 3 / 2

De este ejemplo de ecuación cuadrática, el vértice es (-1/4,3/2). Observe cómo se consideró en el cálculo el valor negativo de b en la ecuación cuadrática original.

Vértice de una parábola: ejemplos resueltos

Incluya 2-3 ejemplos resueltos diferentes para encontrar el vértice de una parábola. Encuentre el vértice mediante diferentes métodos en cada ejemplo.

  • Encuentra el vértice de una parábola graficada:
Parábola en una gráfica.

Ubique el punto más alto o más bajo de la parábola dependiendo de su dirección y anote sus coordenadas. Esta es la ubicación del vértice.

Parábola con vértice marcado en (6,1).

El vértice de esta función se encuentra en (6,1).

  • Encuentra el vértice de una función cuadrática a partir de su forma general:

y = ax2 + bx + c

y = 2x2 + 8x – 6

Estas dos ecuaciones localizan rápidamente las coordenadas xey del vértice de la función, respectivamente:

h = b / 2a

k = c – b2 / 4a

Reemplazando a , b y c con los valores de la forma general y calculando la ecuación, el resultado es:

h = 8 / 2.2

h = 8 / 4

h = 2 = x

k = – 6 – 82 / 4.2

k = – 6 – 64/8

k = – 6 – 8

k = – 14 = y

El vértice de esta función cuadrática se encuentra en (2,-14).

  • Encuentra el vértice de una función cuadrática a partir de su forma de vértice:

y = a(x – h)2 + k

y = 9(x – 8)2 – 3

El vértice de una función cuadrática con una forma de vértice conocida se encuentra en ( h , k ), por lo que simplemente es necesario reemplazar los valores. El vértice de esta función se encuentra en (8,-3).

Resumen de la lección

Un vértice es el lugar donde se encuentran dos líneas o curvas. El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la parábola, dependiendo de en qué dirección mire la parábola. Las ecuaciones cuadráticas son el tipo de ecuaciones que producen parábolas. Las ecuaciones cuadráticas se pueden convertir de la forma estándar a la forma de vértice , y existen ecuaciones específicas diseñadas para encontrar rápidamente valores que pueden ayudar a encontrar los vértices de las cuadráticas:

y = ax2 + bx + c

y = a(x – h)2 + k

h = b / 2a

k = c – b2 / 4a

El vértice de una función cuadrática se encuentra en ( h , k ) de las funciones anteriores.

Encontrar el vértice

Si tienes la gráfica de tu parábola, a veces puedes encontrar el vértice mediante inspección. En otras palabras, encuentre el mínimo o máximo de la curva usando la cuadrícula del gráfico. Por ejemplo, en nuestra imagen de las cuatro parábolas de colores, el vértice de la parábola violeta está en el punto (1,2).

parábolas

Usando la ecuación de la parábola

La ecuación o función de una parábola se puede escribir en forma de vértice, así:

En esta ecuación, a indica qué tan pronunciada es la parábola. La h y la k te indican dónde está el vértice. Por ejemplo, supongamos que tiene la siguiente ecuación:

El vértice está en el punto (1,4). Tenga cuidado, porque el ”-1” dentro del paréntesis puede hacerle pensar que el vértice está realmente en (-1,4).

A veces, sin embargo, la ecuación no está tan bien escrita para usted. En lugar de estar en forma de vértice, puede estar en forma estándar y parecerse más a esto:

y = 3x 2 + 2x + 1

Puedes usar álgebra para ponerlo en forma de vértice, pero eso requiere completar el cuadrado. Un atajo es usar una fórmula para obtener h , la coordenada x del vértice:

h = -b / 2a

Aquí, a es el coeficiente delante de x 2 o 3. B es el coeficiente delante de x o 2. Entonces, para esta ecuación, la coordenada x del vértice está en:

h = -2 / (2 × 3)

h = -1/3

Una vez que tengas la coordenada x ( h ) del vértice, puedes obtener la coordenada y ( k ) simplemente poniendo la coordenada x en la ecuación original y resolviendo.

Por ejemplo, si h = -1/3:

y = 3 (-1/3) 2 + 2(-1/3) + 1

y = 2/3

k = 2/3

Entonces, el vértice está en (-1/3, 2/3).

Resumen de la lección

Una parábola es una línea que se curva de modo que ambos extremos se mueven en la misma dirección en una gráfica de una función o ecuación. El vértice de una parábola es el punto más alto del arco si mira hacia abajo (como cuando se lanza una pelota), o el punto más bajo si mira hacia arriba. A veces puedes encontrar el vértice haciendo una gráfica, pero otras veces necesitarás usar una ecuación.

Para una función en forma de vértice:

el vértice está en h , k . Si está en forma estándar:

y = ax 2 +bx + c

entonces necesitas usar la fórmula h = -b / 2a para encontrar la coordenada x del vértice. Luego, reemplaza la coordenada x en la ecuación dada para encontrar el valor de y .

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