Rodrigo Ricardo

Serie matemática: fórmula y concepto

Publicado el 23 noviembre, 2020

Definición de una serie

Una serie matemática es la suma de una lista de números que se generan de acuerdo con algún patrón o regla. Por ejemplo, ‘1 + 3 + 5 + 7 + 9’ es una serie matemática: la suma de los primeros cinco números impares.

En matemáticas, un conjunto de números que siguen algún patrón se llama secuencia si los números simplemente se enumeran con comas entre ellos, como la secuencia de un cuadrado perfecto que aparece a continuación:

1, 4, 9, 16, 25…

Si coloca un signo ‘+’ entre los números; sin embargo, luego se convierten en una serie, como sigue:

1 + 4 + 9 + 16 + 25 +…

Por ejemplo, suponga que su compañera de cuarto horneó un pastel de manzana y lo dejó en el mostrador mientras se iba a trabajar. Siendo muy justo, decides comer solo la mitad del pastel mientras ella no está; sin embargo, una hora después, todavía tienes hambre, por lo que comes la mitad de lo que queda, o la cuarta parte del pastel total.

Desafortunadamente para tu compañera de cuarto, su pastel es delicioso, por lo que cada hora te encuentras comiendo la mitad de lo que queda.

Como una fracción del pastel total, el pastel que come durante las ocho horas que está en el trabajo se ve así:

½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256

Esas últimas rebanadas de pastel eran muy pequeñas, pero te las arreglaste.

La lista de fracciones de pastel es una secuencia, es simplemente una lista con comas entre cada número.

Si desea saber cuánto de la tarta se comió en total, entonces cree una serie (una suma), que se ve así:

½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256

Para cuando regrese tu compañero de cuarto, habrás acabado con 255/256 del pastel.

Otra forma en que puede escribir esto es usando notación de suma , como esta que aparece aquí:

Suma de los primeros 8 términos de una serie

Esta notación dice tomar el número ‘1’ y ponerlo en lugar de i en la expresión a la derecha del símbolo de suma (el gran símbolo de aspecto gracioso – la letra griega ‘sigma’). Esto le da ½. Luego, pasa al siguiente número de conteo, 2, y lo coloca en su lugar para la i. Eso le da 1 / (2 ^ 2) o ¼. Continúe hasta que haya ingresado el número de conteo en la parte superior del símbolo de suma, 8. Luego, sume todos esos resultados (súmelos).

Sumas finitas e infinitas

En el ejemplo del pastel, solo come pastel ocho veces y luego se detiene. Tu compañera de cuarto llega a casa y reclama esas últimas migajas para ella. Dado que la serie tiene un final, es una serie finita .

Si hubiera tenido la libertad de comer la mitad del pastel restante para siempre, tendría una serie infinita , o una serie sin fin. En lugar de detenerse después de la serie 8, continuaría para siempre; comerías un número infinito de porciones.

Usando la notación de suma, el número final (en la parte superior del símbolo) es ahora infinito.

Suma de series infinitas

Escrito, se vería así:

½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 +. . .

Por supuesto, sus porciones de pastel se convertirían rápidamente en migajas y eventualmente se volverían más pequeñas que un átomo. Es físicamente imposible saber si estás comiendo trozos tan pequeños, pero podemos imaginarlo en teoría.

Resumen de la lección

Tomemos un momento para revisar lo que hemos aprendido. Una serie matemática es un conjunto de números que siguen algún patrón o regla que se suman. La notación de suma es una forma de describir brevemente el patrón. Ahora debería poder aplicar lo que ha aprendido en esta lección sobre series matemáticas y, posteriormente, demostrar que puede hacer lo siguiente:

  • Reconocer y dar un ejemplo de una serie matemática.
  • Contraste una serie y una secuencia
  • Escribe una serie usando notación sumatoria
  • Compara series finitas e infinitas

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