Rodrigo Ricardo

Función racional: definición, ecuación y ejemplos

Publicado el 23 noviembre, 2020

Definición de una función racional

Una función racional es una función que es una fracción y tiene la propiedad de que tanto su numerador como su denominador son polinomios. En otras palabras, R ( x ) es una función racional si R ( x ) = p ( x ) / q ( x ) donde p ( x ) y q ( x ) son polinomios. Recuerda que un polinomio es cualquier función de la forma f ( x ) = a -sub-zero + a -sub-1 por x + a -sub-2 por x ^ 2 +. . . + a -sub- n * x ^ n , dondea -sub-0, a-sub-1,. . ., a -sub- n son todos números reales y los exponentes de cada x es un número entero no negativo.

Ejemplos de funciones racionales

La definición que acaba de obtener puede ser un poco dominante, así que veamos algunos ejemplos de funciones racionales:

La función R ( x ) = ( x ^ 2 + 4 x – 1) / (3 x ^ 2-9 x + 2) es una función racional ya que el numerador, x ^ 2 + 4 x – 1, es un polinomio y el denominador, 3 x ^ 2 – 9 x + 2 también es un polinomio.

La función R ( x ) = (-2 x ^ 5 + 4 x ^ 2 – 1) / x ^ 9 es una función racional ya que el numerador, -2 x ^ 5 + 4 x ^ 2 – 1, es un polinomio y el denominador, x ^ 9, también es un polinomio.

La función R ( x ) = 1 / (( x – 1) ( x ^ 2 + 3)) es una función racional ya que el numerador, 1, es un polinomio (sí, una constante sigue siendo un polinomio) y el denominador, ( x – 1) ( x ^ 2 + 3), también es un polinomio (solo está en forma factorizada).

No ejemplos de funciones racionales

La función R ( x ) = (sqrt ( x ) + x ^ 2) / (3 x ^ 2-9 x + 2) no es una función racional ya que el numerador, sqrt ( x ) + x ^ 2, no es un polinomio ya que el exponente de x no es un número entero.

La función R ( x ) = ( x – 4) / x ^ (- 2/3) + 4 no es una función racional ya que el denominador, x ^ (- 2/3) + 4, no es un polinomio ya que el exponente de x no es un número entero no negativo.

Asíntotas verticales

Una de las propiedades más singulares de una función racional es que puede tener asíntotas verticales. En primer lugar, probablemente deberíamos definir una asíntota vertical. Una asíntota vertical en un valor x es cuando el valor de nuestra función se acerca al infinito positivo o negativo cuando evaluamos nuestra función en valores que se acercan a x (pero no son iguales a x ).

Este ejemplo puede ayudar a aclarar la idea de una asíntota vertical:

Ejemplo de asíntota vertical

Vemos que hay una asíntota vertical cuando x = 1, ya que la función se acerca al infinito negativo cuando nos acercamos a 1 por la izquierda, y la función se acerca al infinito positivo cuando nos acercamos a 1 por la derecha.

Encontrar asíntotas verticales

¿Cómo encontramos las asíntotas verticales (si existen) si se nos ha dado una función racional? Podemos usar el siguiente teorema:

Teorema: Sea R ( x ) una función racional sin factores comunes entre el numerador y el denominador. Entonces, los valores reales de x que hacen que nuestro denominador sea igual a 0 tendrán asíntotas verticales.

Ejemplos de encontrarlos

¡Usemos este teorema para encontrar asíntotas verticales!

Encuentra todas las asíntotas verticales de la función:

R ( x ) = (-2 x ^ 3 + 4 x ^ 2-1) / ( x ^ 2 + x )

Primero, vemos que R ( x ) es de hecho una función racional sin factores comunes entre el numerador y el denominador. ¡Eso es genial porque eso significa que podemos usar el teorema! Tenemos que encontrar qué valores de x hacen que nuestro denominador sea igual a 0. Dado que nuestro denominador es x ^ 2 + x , lo igualaremos a 0 y resolveremos para x . Por lo tanto, tenemos x ^ 2 + x = 0. Factorizando el lado izquierdo, obtenemos x ( x + 1) = 0. Por lo tanto, x = 0 y -1. Nuestras asíntotas verticales existen en x = 0 y x = -1.

Puede que estés pensando. . . ¡Espera, no usamos el numerador! ¿Se suponía que debíamos? Bueno, técnicamente usamos el numerador ya que teníamos que asegurarnos de que no hubiera factores comunes entre el numerador y el denominador. Pero, cuando se trata de calcular nuestras asíntotas verticales, ¡solo usamos el denominador!

Veamos otro ejemplo.

Encuentra todas las asíntotas verticales de la función:

R ( x ) = ( x ^ 2 + 2) / (( x + 3) ( x ^ 2 + 1))

Primero, vemos que R ( x ) es de hecho una función racional (porque recuerde, un polinomio factorizado sigue siendo un polinomio) sin factores comunes entre el numerador y el denominador. Una vez más, es una gran noticia porque eso significa que podemos usar nuestro teorema. Tenemos que encontrar qué valores de x hacen que nuestro denominador sea igual a 0. Dado que nuestro denominador es ( x + 3) ( x ^ 2 + 1), lo igualaremos a 0 y resolveremos para x . Por lo tanto, tenemos ( x + 3) ( x ^ 2 + 1) = 0. Si cada parte es igual a 0, obtenemos x + 3 = 0 y x ^ 2 + 1 = 0. Dado que x^ 2 + 1 = 0 no tiene soluciones reales, la única asíntota vertical proviene de x + 3 = 0. Por tanto, la única asíntota vertical ocurre en x = -3.

Resumen de la lección

Recuerde, una función racional es una función que es una fracción donde tanto su numerador como su denominador son polinomios. Las asíntotas verticales , que son cuando el valor de nuestra función se acerca al infinito positivo o negativo cuando evaluamos nuestra función en valores que se acercan a x (pero no son iguales a x ), pueden ocurrir en funciones racionales. Siempre que no haya factores comunes entre el numerador y el denominador, las asíntotas verticales aparecerán en los valores de x que hacen que nuestro denominador sea igual a 0.

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