Convexo: definición, forma y función

Definición convexa

Eche un vistazo a esta pizza. Observe que la pizza es un círculo y está curvada hacia afuera en todas partes: esta pizza es convexa. Cuando se dice que algo es convexo , significa que está curvado hacia afuera.

Forma convexa

Sin embargo, si tuviéramos que sacar una porción de pizza, entonces la pizza restante ya no sería convexa. Estaría curvado hacia adentro donde se extrajo el corte.

Forma cóncava

Cuando una forma u objeto se curva hacia adentro como la pizza sin la rebanada, decimos que el objeto es cóncavo . En esta lección, nos concentraremos en convexo y veremos qué significa que las formas y funciones sean convexas.

Formas convexas y polígonos

Ser convexo es estar curvado hacia afuera. Esta definición deja bastante claro lo que significa que una forma sea convexa. Debe estar curvado hacia afuera en todas partes, como nuestra pizza en el primer ejemplo. Formalmente, para que una forma sea convexa, debemos poder dibujar dos puntos en cualquier lugar dentro de la forma, y ​​la línea que los conecta no puede salir de la forma. Si nos podemos conectar dos puntos dentro de una forma en que la línea que conecta ellos va fuera de la forma, la forma no es convexa.

Formas convexas y cóncavas

Cuando una forma es un polígono , existe otra regla para determinar si es convexa. Un polígono es una forma bidimensional con líneas rectas como lados. Un polígono es convexo si todos sus ángulos internos son menores o iguales a 180 grados.

Polígonos convexos y cóncavos

Funciones convexas

Ahora que estamos familiarizados con las formas convexas, consideremos las funciones convexas. En matemáticas, las funciones pueden clasificarse como convexas según el comportamiento de sus pendientes. Como repaso, la pendiente de una función es la rapidez con la que la función aumenta o disminuye: es la tasa de cambio de y con respecto a x .

Se dice que una función es convexa cuando la función tiene una pendiente creciente. Por ejemplo, considere la función y = x ^ 2.

Función convexa

Observe que la pendiente de la función y = x ^ 2 aumenta a medida que aumenta x . Por tanto, la función es convexa.

Otra forma de reconocer esto es por la concavidad de la función. La concavidad de una función también tiene que ver con su pendiente. Cuando la pendiente de una función aumenta, decimos que la función es cóncava hacia arriba . Cuando la pendiente de una función es decreciente, decimos que la función es cóncava hacia abajo . Observe que la definición de cóncavo hacia arriba y convexo es la misma. Por tanto, cuando una función es convexa, también podemos decir que es cóncava hacia arriba.

Ejemplos

1.) ¿Es un cuadrado convexo? Explique.

Solución:

¡Un cuadrado es convexo! Esto se puede mostrar de dos formas. Observe que no podemos conectar dos puntos dentro del cuadrado y que la línea que los conecta salga de la forma. Dado que un cuadrado es un polígono, también debemos tener en cuenta que todos los ángulos interiores del cuadrado son 90 grados y, por lo tanto, todos menos de 180 grados.

Por tanto, un cuadrado es convexo.

2.) ¿Es la siguiente forma convexa? Explique.

¿La forma es convexa?

Solución:

La forma que se muestra no es convexa. Observe cómo podemos dibujar una línea entre dos puntos dentro de la forma, y ​​la línea que los conecta sale fuera de la forma.

Por tanto, la forma no es convexa; es cóncavo.

3.) Considere la función y = – ( x + 2) ^ 2. ¿La función es convexa?

Solución:

Para determinar si la función es convexa, observe qué está haciendo su pendiente. A medida que aumentamos el valor de x, la pendiente siempre disminuye. Sabemos que una función convexa tiene una pendiente que siempre aumenta. Por tanto, esta función no es convexa.

Resumen de la lección

Se dice que una forma u objeto es convexo cuando se curva hacia afuera. Para determinar si una forma es convexa, podemos dibujar dos puntos en algún lugar dentro de la forma y ver si la línea que los conecta sale o no de la forma. Si podemos dibujar dos puntos donde la línea que los conecta sale fuera de la forma, entonces la forma no es convexa, sino cóncava. Si nuestra forma es un polígono, también podemos determinar si es convexa observando sus ángulos interiores. Si cada uno de sus ángulos interiores es menor o igual a 180 grados, entonces el polígono es convexo. Las funciones también se pueden clasificar como convexas cuando su pendiente aumenta.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador