Definición de centro de masa
Antes de comenzar, eliminemos algunos términos. Para empezar, necesitamos saber que el centro de masa de un objeto, o grupo de objetos, es el punto alrededor del cual toda la masa del sistema se distribuye por igual. El siguiente a conocer es el centroide , que es el centro geométrico de una forma dada. Por ejemplo, el centro exacto de una esfera es también el centroide de esa forma. Finalmente, el centro de gravedad se refiere al punto alrededor del cual se equilibran las fuerzas de gravedad.
Aunque el centro de masa, el centroide y el centro de gravedad a menudo coinciden, todos son conceptos diferentes. El centroide es igual al centro de masa solo cuando la distribución de masa es uniforme (siempre la misma). Por ejemplo, en una bola llena de aire, el centroide y el centro de masa serán los mismos. Reemplazar la mitad inferior con un tapón de metal cambiaría significativamente el centro de masa, pero no cambiaría el centroide. Mientras tanto, el centro de gravedad y el centro de masa solo son iguales cuando todo el sistema está sujeto a un campo gravitacional uniforme.
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¿Ves en la imagen cómo cambia el centro de masa a medida que se mueven los pesos, pero el centroide de la forma siempre está en el centro de la regla? Así es como funciona esto.
Ecuación para el centro de masa
La ecuación para encontrar el centro de masa de un objeto es:
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Esta ecuación puede usarse para vectores de cualquier dimensión y resolverse usando matrices de tamaño apropiado. Sin embargo, para pequeñas cantidades de partículas y dimensiones, generalmente es más fácil aplicar esta ecuación a cada coordenada por separado, como veremos en los ejemplos que siguen a esta sección.
No debe tener miedo de la suma de la ecuación anterior. Para un sistema de dos masas a lo largo de una sola dimensión, esta ecuación de aspecto complicado se reduciría a esto:
Centro de masa = {(m1 * r1) + (m2 * r2)} / (m1 + m2)
Ejemplo 1: dos objetos en una línea
Digamos que tiene una caña de una yarda de peso insignificante con una bola en cada extremo. Si una de las bolas pesa 6 libras y la otra 2 libras, ¿en qué parte de la varilla sería posible equilibrar el sistema? Esta situación reduce el concepto tridimensional de centro de masa a una sola dimensión. Loco, ¿verdad?
Espera, ¿cómo podemos proceder con los cálculos del centro de masa si tenemos pesos en lugar de masas? Dado que la fuerza de gravedad es la misma para ambos objetos aquí, el centro de masa y el centro de gravedad es el mismo. Hay algunos sistemas en los que este no es el caso, como satélites o cuerpos planetarios con órbitas excéntricas, pero funciona perfectamente bien en este caso.
Usando nuestra ecuación y tomando x = 0 como el centro de la bola más pesada, obtenemos:
x = (6 libras) (0 pies) + (2 libras) (3 pies) / (6 libras + 2 libras) = (0 + 6) pies libras / 8 libras = 0,75 pies
Ejemplo 2: tres objetos en un avión
Probemos con otro. Determine el centro de masa de 3 objetos en una tabla plana con las siguientes masas y ubicaciones en el plano de coordenadas, en metros:
A: 2 kg, (0, 10)
B: 3 kg, (10, 1)
C: 7 kilogramos, (2, 2)
Este ejemplo aumenta la complejidad un nivel. Ahora tenemos que considerar dos dimensiones, ( x , y ).
centro de masa de la coordenada x =
2 kg (0 m) + 3 kg (10 m) + 7 kg (2 m) / (2 kg + 3 kg + 7 kg) = (0 + 30 + 14) kg m / 12 kg
= 3,67 m
centro de masa coordenada y =
2 kg (10 m) + 3 kg (1 m) + 7 kg (2 m) / (2 kg + 3 kg + 7 kg) = (20 + 3 + 14) kg m / 12 kg
= 3,08 m
El centro de masa de este sistema es (3.67 m, 3.08 m). ¿Empieza a tener más sentido? Probemos uno más.
Ejemplo 3: cuatro objetos en tres dimensiones
¡Última parada en nuestro recorrido complejo! Cuatro objetos con diferentes coordenadas y pesos en tres dimensiones, en pies. Recuerde que el centro de masa y el centro de gravedad son los mismos para esta situación, pero no siempre es así.
A: 1 libra, (1, 2, 3)
B: 2 libras, (3, 4, 5)
C: 3 libras, (10, 11, 12)
D: 6 libras, (-10, -10, -10)
Entonces ahora estamos buscando un punto en tres dimensiones, ( x , y , z ). Vamos a dividirlo una coordenada a la vez.
centro de masa de la coordenada x =
1 lb (1 pie) + 2 lb (3 pies) + 3 lb (10 pies) + 6 lb (-10 pies) / (1 lb + 2 lb + 3 lb + 6 lb)
= (1 + 6 + 30-60) pies libras / 12 libras
= – (23/12) pies
= – 23 en
centro de masa coordenada y =
1 lb (2 pies) + 2 lb (4 pies) + 3 lb (11 pies) + 6 lb (-10 pies) / (1 lb + 2 lb + 3 lb + 6 lb)
= (2 + 8 + 33-60) libras pie / 12 libras = – (17/12) pies
= -17 pulgadas
centro de masa de la coordenada z =
1 lb (3 pies) + 2 lb (5 pies) + 3 lb (12 pies) + 6 lb (-10 pies) / (1 lb + 2 lb + 3 lb + 6 lb)
= (3 + 10 + 36-60) libras pie / 12 libras = – (11/12) pies
= -11 en
El centro de masa de este sistema es (-23 pulgadas, -17 pulgadas, -11 pulgadas)
¡Uf! Como puede ver, las matemáticas son bastante simples. Mantener todo en orden a medida que aumenta la cantidad de objetos y dimensiones puede ser un desafío con este método, pero eres un sabelotodo, así que no te preocupes.
Resumen de la lección
El centro de masa de cualquier sistema es el punto alrededor del cual se distribuye por igual toda la masa del sistema. Los otros términos clave que debe conocer son centroide , que es el centro geométrico de una forma determinada y el centro de gravedad , que se refiere al punto sobre el cual se equilibran las fuerzas de gravedad. El centro de masa de un objeto se puede encontrar calculando la media aritmética de las masas a lo largo de cada dimensión. Si bien esto puede parecer complicado, las matemáticas reales son muy sencillas. Recuerde, aunque pueden ser equivalentes entre sí en un sistema dado, el centro de masa, el centro de gravedad y el centroide son conceptos diferentes.
Términos clave
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- Centro de masa : se determina calculando la media aritmética de las masas a lo largo de las dimensiones
- Centroide : es el centro geométrico de una forma dada.
- Centro de gravedad : es el punto sobre el que se equilibran las fuerzas de gravedad.
Los resultados del aprendizaje
Repase esta lección en su tiempo libre, luego mida su capacidad para:
- Contrasta el centro de masa y el centroide de un sistema
- Proporcionar la definición del centro de gravedad.
- Escribe la ecuación para el centro de masa
- Calcular el centro de masa
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