Combinaciones lineales y alcance: definición y ecuación

Ejemplo practico

Imagina que tienes tres campos de frutas: manzanas, naranjas y peras. En un momento dado, tienes un total de 500 piezas vendibles de cada tipo de fruta. Estás vendiendo estas frutas en fanegas mixtas.

Ahora considere cuántas mezclas diferentes podría crear. Comenzando con un celemín con una pieza de fruta hasta un celemín con cientos de piezas de fruta, registra todos los bushels posibles. Algunos de los bushels en la lista serían:

• 1 manzana
• 1 naranja
• 1 pera
• 1 manzana, 1 pera
• 1 naranja, 1 pera
• 1 manzana, 1 naranja, 1 pera
• 2 manzanas
• 2 manzanas, 5 peras
• …
• 500 manzanas, 2 naranjas, 499 peras
• …
• 500 manzanas, 500 naranjas, 500 peras

Observe que está multiplicando cada pieza de fruta disponible por un número específico entre 0 y 500, y luego sumando esos múltiplos para crear la descripción de cada bushel.

• 1 manzana = (1 * 1 manzana) + (0 * 1 naranja) + (0 * 1 pera)
• 1 manzana, 1 naranja = (1 * 1 manzana) + (1 * 1 naranja) + (0 * 1 pera)
• …
• 500 manzanas, 2 naranjas, 499 peras = (500 * 1 manzana) + (2 * 1 naranja) + (499 * 1 pera)

En términos matemáticos, llamaríamos al conjunto {1 manzana, 1 naranja, 1 pera} el conjunto ‘base’ para este ejemplo, ya que es un conjunto simple que incluye una de cada tipo de fruta.

Definiciones aplicables

Dado que tiene un máximo de 500 piezas de cada fruta, llamaremos al conjunto {0, 1, 2, … 500} el conjunto de escalares. Los escalares son los números por los que puede multiplicar cada elemento de su conjunto de base para encontrar una nueva combinación de sus elementos.

Cada descripción de bushel se denomina combinación lineal de las piezas de fruta sobre el conjunto de números del 0 al 500. La lista completa de descripciones de bushel se denomina el intervalo del conjunto de frutas sobre el conjunto de números.

Definiciones oficiales

Para ambas definiciones, debemos tener lo siguiente:

• Sea V un espacio vectorial.
  • En nuestro ejemplo, este sería el conjunto de todas las frutas posibles que podrías cultivar.
• Sea B un subconjunto no vacío de V que incluye los elementos más básicos del espacio vectorial.
  • Este es el conjunto {1 manzana, 1 naranja, 1 pera}, que es un subconjunto del espacio vectorial de posibles frutos.
• Sea { b 1 , b 2 , b 3 , …, b m } ser una lista de los vectores en B .
  • En el formato de combinaciones lineales, este es el conjunto: {(1 manzana, 0 naranjas, 0 peras), (0 manzanas, 1 naranja, 0 peras), (0 manzanas, 0 naranjas, 1 pera)}
• Sea F un campo y S un subconjunto de ese campo.
  • Este es el conjunto {0, 1, 2, …, 500} que es un subconjunto del campo de números reales.
• Ahora sea { a 1 , a 2 , a 3 , …, a n } un subconjunto de escalares de S
  • Esta lista podría ser {500, 2, 499} para la descripción de bushel para 500 manzanas, 2 naranjas y 499 peras. Este es un subconjunto de nuestro campo {0, 1, 2, …, 500}.

Ahora nuestras definiciones básicas:

• El vector v de nuestro espacio vectorial V es una combinación lineal si v = a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n
  • Cada descripción de bushel anterior es una combinación lineal del subconjunto de fruta disponible y un subconjunto del conjunto {0, 1, 2, …, 500}.
• El lapso del subconjunto B de V denota ‘lapso ( B )’ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores en el conjunto B en los escalares en el campo F .
  • La lista completa de descripciones de bushel es el intervalo de la fruta disponible sobre el conjunto {0, 1, 2, … 500}.

Ejemplo matemático

De manera similar, considere el espacio vectorial R 3 . Este es el conjunto de todos los vectores tripletes de números reales, ( a , b , c ).

Ahora tomamos el campo de los números reales como nuestro conjunto escalar.

Hay tres elementos en el espacio vectorial R 3 que podemos usar para nuestro conjunto básico, B :

• (1, 0, 0),
• (0, 1, 0) y
• (0, 0, 1)

Este es el conjunto más simple que podemos lograr con cada coordenada contabilizada, al igual que el conjunto descrito anteriormente con frutas como unidades para cada uno de estos números.

Adición dentro de R 3

Cuando agregamos dentro del espacio vectorial R 3 , agregamos los componentes de nuestros elementos a su vez:

• ( a , b , c ) + ( re , e , f ) = ( a + re , b + e , c + f )

Multiplicación escalar en R 3

Cuando practicamos la multiplicación escalar, multiplicamos el escalar por las tres partes del elemento. Sea ( a , b , c ) un elemento de R 3 y sea x un escalar de nuestro campo. Entonces:

• x ( a , b , c ) = ( xa , xb , xc )

Poniendolo todo junto

Usando estos conceptos de suma y multiplicación escalar, podemos crear el conjunto completo de R 3 multiplicando cada uno de los elementos de nuestro conjunto de bases por un escalar de los números reales y sumando los múltiplos:

1 (1, 0, 0) + 3 (0, 1, 0) + 29 (0, 0, 1)
= (1, 0, 0) + (0, 3, 0) + (0, 0, 29)
= (1, 3, 29)

46 (1, 0, 0) + 1/2 (0, 1, 0) + 23 (0, 0, 1)
= (46, 0, 0) + (0, 1/2, 0) + (0, 0, 23)
= (46, 1/2, 23)

Podemos generalizar esta idea usando marcadores de posición para los números reales. Dado cualquier vector v = ( a , b , c ) de R 3 . Entonces tenemos que este vector se puede construir como una combinación lineal de la siguiente manera:

a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1)
= ( a , 0, 0) + (0, b , 0) + (0, 0, c )
= ( a + 0 + 0, 0 + b + 0, 0 + 0 + c )
= ( a , b , c )

Como puedo hacer cualquier triplete de números usando este proceso, el conjunto completo R 3 es el intervalo de este conjunto básico B sobre el campo de los números reales.

Resumen de la lección

• Los escalares son los números por los que puede multiplicar cada elemento de su conjunto de base para encontrar una nueva combinación de sus elementos.
• Una combinación lineal es una suma de los múltiplos escalares de los elementos en un conjunto de bases.
• El intervalo del conjunto de bases es la lista completa de combinaciones lineales que se pueden crear a partir de los elementos de ese conjunto de bases multiplicados por un conjunto de escalares.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador