Rodrigo Ricardo

Cómo calcular una serie aritmética

Publicado el 18 septiembre, 2020

¿Qué es una serie aritmética?


El patrón que Gauss descubrió para series aritméticas
Patrón de serie aritmética

Una secuencia aritmética es un patrón de números que aumentan en la misma cantidad cada vez, como 1, 2, 3, 4, 5, … lo que significa que una serie aritmética es lo que obtienes cuando se te pide que sumes todos los entradas dentro de este patrón, como 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…

Bueno, esto es exactamente lo que el maestro de Karl Friedrich Gauss le pidió que hiciera cuando era solo un niño en la escuela primaria. Aparentemente, el maestro había tenido un día largo y decidió darle a la clase un pequeño problema que los mantendría ocupados por un tiempo, para que tal vez pudiera tomar una siesta rápida.

Les indicó que sumaran todos los números entre 1 y 100 y luego se sentó en su escritorio y bajó la cabeza. Pero para su consternación, unos minutos más tarde un joven Gauss se acercó a él y le dijo la respuesta, 5050. Esto debe ser una broma, pensó el maestro, ni siquiera sé la respuesta a esto, ¿cómo podría esto? niño ha recibido la respuesta tan rápido? Resulta que el pequeño Gauss había tropezado con la fórmula de cualquier serie aritmética.

La fórmula para cualquier serie aritmética


La fórmula para cualquier serie aritmética
Fórmula de la serie aritmética

Lo que Gauss notó es que si emparejaba el primer y último término, 1 y 100, obtenía 101. Pero si hacía lo mismo con el segundo y el penúltimo término, 2 y 99, terminaba con la exacta lo mismo, 101. Si hacía lo mismo con 3 y 98, todavía era 101. Siguió haciendo más y más pares y notó que le seguían dando 101. Decidió que, como había 100 términos en la serie, había Sería la mitad de pares, o 50 pares de 101. Por lo tanto, pudo descubrir que la serie 1 + 2 + 3 + 4 +…. + 98 + 99 + 100 era solo 101×50 = 5050.

Resulta que este truco funcionará para cualquier serie aritmética. Simplemente empareje el primer término y el último ( a _1 + a _n) y multiplíquelo por la cantidad de grupos que tenga ( n / 2), ¡y obtendrá su suma! Por lo tanto, tenemos la siguiente fórmula escrita en notación sumatoria. Comenzamos con el primer término y vamos a n , donde n es el número de términos en nuestra serie, y estamos haciendo esto para alguna secuencia aritmética a _n. Lo que obtenemos es ( n / 2), que es el número de términos dividido por 2, multiplicado por la suma de ese primer y último término ( a _1 + a _n). Entonces, eso nos da ( n / 2) ( a_1 + a _n) , que es nuestra fórmula para cualquier serie aritmética.

Resolviendo el problema del estadio de Michigan


La secuencia para el número de asientos en cada fila en Michigan Stadium
Problema del estadio de Michigan de la serie aritmética

Ahora que conocemos ese atajo, finalmente estamos listos para resolver un problema que presentamos en un video anterior: ¿cuántos asientos hay en una sección del Michigan Stadium? Dijimos que había 35 asientos en la primera fila y cuatro más en cada fila detrás. Eso hizo que la cantidad de asientos en la enésima fila fuera un _n = 4 n + 31 porque la fila cero, si hubiera una, solo tendría 31 asientos, y la diferencia común era 4. Lo que realmente estamos preguntando es cuál es el suma de una serie que comienza en la primera fila y pasa por la fila 96 mientras sigue la secuencia 4 n + 31? Nuevamente, el número de asientos en esta secuencia se representa usando una notación de suma como esta.

Entonces, ¿cómo usamos nuestra fórmula? Bueno, primero tenemos que decidir cuántos grupos van a haber. Hay un total de 96 filas, así que tenemos que dividirlo por 2 ya que estamos tomando pares, así que esa es la parte n / 2 de la fórmula. Ahora tenemos que averiguar a cuánto equivale cada grupo. Encuentro eso tomando el número de asientos en la primera fila y el número de asientos en la fila 96 antes de sumarlos. Para la primera fila, puedo ingresar 1 en esa fórmula 4 n + 31, lo que me da 35. Para la fila 96, inserto 96, lo que me da 415. Eso me da 450 para cada grupo. 96/2 me da 48 grupos. Entonces, 48 ​​* (450) = 21,600, ¡y ahora sabemos que hay 21,600 asientos en cada sección del Michigan Stadium!


La solución al problema del estadio de Michigan
Solución del estadio de Michigan de la serie aritmética

Resumen de la lección

Sumar series aritméticas se puede hacer mucho más rápido y fácil emparejando números desde el principio de la serie con números desde el final. Hacer esto nos da la fórmula, comenzando desde el primer término y yendo al enésimo término, ( n / 2) ( a _1 + a _n) donde n representa el número de términos en la serie

Para probar más problemas de práctica de secuencias aritméticas, debe ver el video de problemas de práctica que se publicarán algunas lecciones después de este.

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