Escribir ecuaciones de dos variables
¿Alguna vez ha intentado resolver un problema en el que había dos valores desconocidos? Por ejemplo, digamos que tiene $ 5 y planea ahorrar $ 5 cada semana. Su amigo tiene $ 11, pero planea ahorrar $ 2 cada semana. ¿Después de cuántas semanas tú y tu amigo tendréis la misma cantidad de dinero? ¿Cuánto dinero tendrán ambos? Podemos usar un sistema de ecuaciones para resolver este problema.
Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones con dos variables que se pueden resolver graficando en el plano de coordenadas. Para graficar un sistema de ecuaciones, ambas ecuaciones se pueden cambiar a la forma pendiente-intersección de una línea.
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La intersección con el eje y es donde comienzas en el eje y y la pendiente es cuánto te mueves. Al graficar la pendiente, la hacemos una fracción y luego subimos o bajamos (subimos) y luego vamos a la derecha (corremos).
Balanceo de Ecuaciones Químicas por Método Algebraico
Ejemplo 1
Para responder a la pregunta de cuándo usted y su amigo tendrán la misma cantidad de dinero y cuánto dinero tendrá usted, primero debemos definir nuestras variables. Como sé que vamos a graficar estos en el plano de coordenadas, voy a utilizar X e Y , pero bastaría cualquier letra.
Para elegir qué variable es la x y cuál es la y , debemos determinar cuál depende de la otra. En el problema busco la cantidad de dinero y el número de semanas. ¿Depende el número de semanas de la cantidad de dinero que tiene o la cantidad de dinero que tiene depende del número de semanas?
Dado que la cantidad de dinero que tiene depende del número de semanas, la cantidad de dinero es la variable dependiente, y , y el número de semanas es la variable independiente, x .
Ahora que hemos definido nuestras variables, vamos a crear dos ecuaciones. Una ecuación representará su dinero y la segunda ecuación representará el dinero de su amigo. La cantidad total de dinero que tiene, y es igual a la cantidad que tiene actualmente, $ 5, más cuánto está ahorrando cada semana, $ 5 por semana. Eso se traduce en y = 5 x +5.
La cantidad total de dinero que tiene su amigo, y , es igual a la cantidad que tiene actualmente, $ 11, más cuánto está ahorrando cada semana, $ 2 por semana. Eso se traduce en y = 2 x +11.
Teoría de la relatividad: definición, ecuaciones y ejemplos
Para resolver este sistema de ecuaciones, graficaremos ambas ecuaciones en el mismo plano de coordenadas. Cuando graficamos ecuaciones lineales, necesitamos un punto de partida y la pendiente. El punto de partida es la cantidad de dinero que tienes, $ 5, que también es la intersección con el eje y en la ecuación. La pendiente es la cantidad de dinero que está ahorrando, $ 5 por semana. Si hacemos que la pendiente sea una fracción, es 5/1 , lo que significa que subimos 5 y 1 a la derecha desde el punto inicial en el eje y.
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A continuación, graficamos la segunda ecuación. La cantidad inicial aquí es de $ 11 y la pendiente es de $ 2 por semana. Comenzamos en 11 en el eje y y luego subimos 2 y más de 1.
Centro de Masa y Centro de Gravedad: Definición y ecuaciones
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Para encontrar la solución a este sistema de ecuaciones, encontramos el punto donde las dos líneas se cruzan. Se cruzan en el punto (2, 15). Esto significa que x = 2 e y = 15. Entonces, después de 2 semanas, tanto usted como su amigo tendrán $ 15.
Ejemplo 2
Susan y Carlos fueron a un carnaval, donde tuvieron que pagar la entrada y cada boleto de viaje. Susan pagó cuatro boletos de viaje y la entrada, y le costó $ 9. Carlos pagó la entrada y dos boletos de viaje, y le costó $ 7. ¿Cuánto costó la admisión? ¿Cuánto costó cada boleto de viaje?
Dado que estamos tratando de encontrar el costo de admisión y el costo de un boleto de viaje, necesitamos definir nuestras variables. No importa en este caso, cuál utilizamos como X y Y debido a que estos dos eventos son independientes el uno del otro. Dejemos que el costo de admisión sea nuestro y y el costo de cada boleto de viaje sea x .
Ahora, configuraremos dos ecuaciones, una para Susan y otra para Carlos. Susan compró 4 boletos, así que tenemos que multiplicar el costo de un boleto, x por 4. Ella también pagó la admisión, y , así que debemos sumar eso a 4 ( x ) y eso es igual a los $ 9 que gastó. Entonces, la ecuación para Susan es y + 4 x = 9.
Carlos pagó 2 boletos de viaje, por lo que debemos multiplicar el costo de un boleto de viaje, x por 2. Luego también pagó la entrada, por lo que debemos sumar y al 2 (x) y eso es igual a los $ 7 que gastó. La ecuación de Carlos es y + 2 x = 7.
Para graficar estas ecuaciones en el plano de coordenadas debemos resolverlas para y .
Para la ecuación de Susan, debemos restar 4 x .
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Ahora podemos mirar la ecuación y encontrar la pendiente y la intersección con el eje y. La pendiente es -4/1 y la intersección con el eje y es 9. Entonces, comenzamos en 9 en el eje y y luego bajamos 4 porque es negativo y 1 a la derecha.
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Para la ecuación de Carlos, debemos restar 2x de ambos lados para resolver y .
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Ahora que tenemos la ecuación en forma pendiente-intersección, podemos ver que la pendiente es -2/1 y la intersección y es 7. En este caso, comenzaremos en 7 en el eje y y luego bajaremos 2 y derecha 1.
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La solución es el punto donde estas dos gráficas se cruzan, (1, 5). Eso significa que el costo de cada boleto de viaje es de $ 1 y el costo de admisión es de $ 5.
Resumen de la lección
Hay seis pasos para escribir un sistema de ecuaciones a partir de un problema verbal.
- Defina sus variables. Asegúrese de determinar lo que está buscando y decidir qué variable representará qué incógnita.
- Escribe dos ecuaciones que tengan dos variables.
- Pon tus ecuaciones en forma pendiente-intersección , y = mx + b
- Grafica las ecuaciones usando la pendiente y la intersección con el eje y.
- Identifica la solución mirando el punto donde las líneas se cruzan.
- Escribe lo que significa ese punto en términos del problema.
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