Ecuaciones de una variable y desigualdades
Suponga que Amy está ahorrando para una guitarra que cuesta $ 200. Para recaudar dinero, decide hacer una venta de pasteles en la que cobra $ 4 por cada producto horneado. Su objetivo con la venta de pasteles es hacer lo suficiente para poder comprar la guitarra, que cuesta 200 dólares.
Si hacemos que x sea igual a la cantidad de productos horneados que vende Amy, entonces su ingreso total de la venta de pasteles será 4 x , y dado que necesita $ 200 para alcanzar su meta, quiere que sea igual a 200. Esto da la siguiente ecuación:
- 4 x = 200
En matemáticas, llamamos a esta ecuación una ecuación de una variable , porque es una ecuación con exactamente una variable, o desconocida.
Después de pensarlo un poco, Amy se da cuenta de que sería aún mejor si pudiera superar los $ 200 porque entonces podría pagar algunos accesorios para su guitarra. Esto cambia su objetivo para obtener al menos 200, por lo que su ingreso, 4 x , debe ser mayor o igual a 200 para que pueda alcanzar su objetivo. Esto convierte la ecuación en la siguiente desigualdad:
- 4 x ≥ 200
Esta desigualdad se llama desigualdad de una variable porque es una desigualdad con exactamente una variable o desconocida. Lo bueno de esta ecuación y desigualdad es que podemos usarla para calcular cuántos productos horneados necesita vender Amy para alcanzar su objetivo.
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Vemos que si quiere alcanzar la meta de $ 200, entonces necesita vender 50 productos horneados, pero si quiere ganar $ 200 o más, entonces necesita vender 50 o más productos horneados. Bastante útil, ¿eh? Ser capaz de crear ecuaciones y desigualdades de una variable definitivamente es útil en aplicaciones del mundo real. ¡Echemos un vistazo a cómo hacer esto!
Creación de desigualdades y ecuaciones de una variable
Como acabamos de ver, podemos crear ecuaciones y desigualdades de una variable utilizando la información proporcionada en un problema. Los pasos para hacer esto son los siguientes:
- Identificar lo desconocido y representarlo con una variable.
- Establece una ecuación o desigualdad usando esa variable.
- Resuelve la ecuación o desigualdad para encontrar una respuesta al problema.
El paso más complicado es probablemente el Paso 2, donde establecemos una ecuación o desigualdad. Cuanto más trabajamos con la creación de ecuaciones y desigualdades de una variable, más nos familiarizamos con el proceso, así que echemos un vistazo a un par de ejemplos más.
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Más ejemplos
Supongamos que Larry está construyendo una base de cemento rectangular donde se colocará una estatua en un parque. Sabe que la base debe tener un área de 15 pies cuadrados y que el ancho debe ser 2 pies más corto que el largo. Lo que no sabe es cuáles deben ser las dimensiones de la base. ¡Vamos a resolver esto!
Primero, reconocemos que estamos buscando el largo y ancho de la base. También sabemos que el ancho es 2 pies más corto que el largo, así que si dejamos que el largo sea x , entonces el ancho es x – 2.
Ahora, solo necesitamos establecer una ecuación en x usando la información del problema. El área de un rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho. Por tanto, el área de la base rectangular es la siguiente:
- Área = (largo) (ancho) = x ( x – 2) = x 2 – 2 x
También se nos da que el área debe ser de 15 pies cuadrados, por lo que lo igualamos a la fórmula que acabamos de encontrar para obtener nuestra ecuación de una variable.
- x 2 – 2 x = 15
¡Increíble! Ahora, solo necesitamos resolver la ecuación para x . Esta es una ecuación cuadrática, así que usemos la factorización para resolverla.
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Obtenemos que x = 5, por lo que la longitud de la base será de 5 pies. El ancho es dos pies más corto que esto, por lo que el ancho es de 3 pies y las dimensiones de la base son de 5 pies por 3 pies.
¡Un ejemplo más rápido! Supongamos que Chuck está a cargo de una rifa de caridad. Su presupuesto es de $ 100 y ya ha gastado $ 40 en suministros. Necesita comprar algunos llaveros como premios de entrada, y cada llavero cuesta $ 5. ¿Cuántos llaveros puede comprar sin salirse de su presupuesto?
Hmmm… bueno, lo desconocido aquí es cuántos llaveros puede comprar Chuck, así que dejaremos que sea x . Sabemos que el presupuesto es de $ 100, por lo que su monto total gastado debe ser menor o igual a esto. Ya gastó $ 40, y dado que cada llavero cuesta $ 5, la cantidad total que gastaría en llaveros es 5 x . Por lo tanto, la cantidad total gastada sería la suma de estas dos cantidades, o 5 x + 40, por lo que tenemos la siguiente desigualdad.
- 5 x + 40 ≤ 100
Todo lo que tenemos que hacer es resolver esta desigualdad para x para encontrar cuántos llaveros puede comprar.
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Obtenemos que x ≤ 30, por lo que Chuck puede comprar hasta 30 llaveros y aún estar dentro del presupuesto.
Resumen de la lección
Una ecuación de una variable es una ecuación que tiene exactamente una variable en ella. De manera similar, una desigualdad de una variable es una desigualdad que tiene exactamente una variable. Establecer ecuaciones y desigualdades de una variable es una herramienta extremadamente útil en matemáticas. Los pasos que seguimos para hacerlo son los siguientes:
- Identificar lo desconocido y representarlo con una variable.
- Establece una ecuación o desigualdad usando esa variable.
- Resuelve la ecuación o desigualdad para encontrar una respuesta al problema.
Aunque puede parecer complicado al principio, cuanto más practiquemos, más fácil será utilizar la información en un problema dado para establecer una ecuación o desigualdad de una variable. Por lo tanto, sigue practicando y serás un profesional en poco tiempo.
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