Cómo demostrar relaciones en cifras usando congruencia y similitud

Figuras congruentes y similares

¿Cuándo fue la última vez que fue a comprar ropa? Si es mujer, suponga que va a la tienda a buscar una falda nueva. Mientras mira los diferentes estilos, encuentra dos que realmente le gustan y ve que vienen en tamaños pequeño, mediano y grande. Tenga en cuenta que las faldas tienen exactamente la misma forma, solo que de diferentes tamaños.

¿Bien adivina que? Esta observación es en realidad matemática y, hablando matemáticamente, diríamos que estas faldas son similares. En matemáticas, dos figuras son figuras similares cuando su única diferencia es su tamaño. Es decir, una figura se puede obtener de otra figura simplemente cambiando el tamaño de la figura.

Coges una talla pequeña y una talla mediana para una de las faldas y una talla pequeña de la otra falda, luego te diriges al vestidor. Prueba las faldas pequeñas y luego las tira al suelo mientras se prueba la falda mediana. Observa que las dos faldas pequeñas están situadas en el piso de tal manera que si deslizara una de las faldas un par de pies, estaría directamente encima de la otra falda.

Una vez más, podemos describir estas dos faldas del mismo tamaño usando un término matemático, y ese término es figuras congruentes . Figuras congruentes son dos figuras del mismo tamaño y forma que se pueden obtener una de la otra al girar, reflejar o deslizar una de las figuras. ¡Eh! ¡Quién diría que comprar ropa implicaba tantas matemáticas!

Comprobando relaciones

Puede que esté pensando que estos términos para las cifras son geniales y todo, pero ¿y qué? Bueno, resulta que cuando dos figuras son similares o congruentes, tienen ciertas propiedades, y estas propiedades pueden usarse para probar las relaciones entre las figuras.

Cuando dos figuras son figuras similares , tienen las siguientes propiedades:

• Los ángulos correspondientes tienen igual medida
• Los lados de las formas / figuras son proporcionales

Para ilustrar esto, veamos nuevamente la falda pequeña y mediana. Observe que los lados son proporcionales y los ángulos correspondientes son iguales.

Las figuras congruentes tienen las siguientes propiedades:

• Los ángulos correspondientes tienen igual medida
• Los lados correspondientes tienen la misma longitud

Echa un vistazo a las dos faldas que pusiste de nuevo en el suelo del vestidor. Observe que los ángulos y lados correspondientes son iguales.

Estas propiedades son extremadamente útiles porque, cuando sabemos que dos figuras son similares o congruentes, podemos usar estas propiedades para probar las relaciones entre esas figuras. Echemos un vistazo a cómo hacerlo.

Ejemplos

Considere el triángulo rectángulo que se muestra en la imagen:

Podemos ver que el triángulo ABC es similar al triángulo EDC , y queremos demostrar que ( AC ) ⋅ ( DC ) = ( EC ) ⋅ ( BC ). Afortunadamente, podemos hacer esto usando las propiedades de figuras similares. Dado que los dos triángulos son similares, debe darse el caso de que las longitudes de sus lados sean proporcionales, por lo que tenemos que:

( AC / EC ) = ( BC / DC ) = ( AB / ED )

Ahora, tenemos que ( AC / EC ) = ( BC / DC ) según las propiedades de figuras similares. A partir de aquí, simplemente podemos usar la multiplicación cruzada para demostrar que ( AC ) ⋅ ( DC ) = ( EC ) ⋅ ( BC ).

Obtenemos que ( AC ) ⋅ ( DC ) = ( EC ) ⋅ ( BC ), que era lo que teníamos que demostrar. Bueno, eso fue bastante fácil, ¡y todo gracias a las propiedades de figuras similares!

Ahora, consideremos un ejemplo que involucra figuras congruentes. Considere la figura que se muestra.

Se nos da que la figura ABEF y la figura FECD son congruentes, y queremos demostrar que ∠ A + ∠ B = ∠ f 2 + ∠ e 2 .

Dado que las dos figuras son congruentes, podemos usar las propiedades de las figuras congruentes para deducir los siguientes hechos:

∠ A = ∠ f 2

∠ B = ∠ e 2

Por tanto, debe darse el caso de que ∠ A + ∠ B = ∠ f 2 + ∠ e 2 , que era lo que teníamos que demostrar.

Una vez más, vemos lo útiles que son estas propiedades. ¡Saber que las dos cifras eran congruentes hizo que esta prueba fuera muy sencilla!

Resumen de la lección

Figuras similares son figuras que tienen la misma forma y solo difieren en su tamaño. Cuando dos figuras son similares, tienen las siguientes propiedades:

• Los ángulos correspondientes tienen igual medida
• Los lados de las formas / figuras son proporcionales

Figuras congruentes son dos figuras del mismo tamaño y forma que se pueden obtener una de la otra al girar, reflejar o deslizar una de las figuras. Cuando dos figuras son congruentes, tienen las siguientes propiedades:

• Los ángulos correspondientes tienen igual medida
• Los lados correspondientes tienen la misma longitud

Cuando sabemos que dos figuras son similares o congruentes, podemos usar sus propiedades para probar diferentes relaciones entre esas figuras. Como hemos visto, estas propiedades pueden hacer que una prueba aparentemente difícil sea extremadamente simple.