Cómo encontrar el mínimo común múltiplo de expresiones

Mínimo común múltiplo (LCM)

El MCM de expresiones es la expresión más pequeña que se puede dividir entre cada una de las otras expresiones. En otras palabras, el LCM es el múltiplo más pequeño en común con cada una de las expresiones. Probablemente hayas trabajado con este concepto antes al encontrar mínimos comunes denominadores. Ahora estamos aplicando este concepto a expresiones.

Hay tres pasos:

1. Escribe los factores para cada expresión en factorización prima y cuenta con qué frecuencia ocurre cada factor.
2. Identifique la ocurrencia más frecuente de cada factor.
3. Resalte todos los factores que ocurren con mayor frecuencia y luego busque el producto de los factores resaltados. El producto es el LCM.

¿Listo para aprender cómo funcionan estos pasos? Aquí hay tres ejemplos:

Ejemplo 1

Dadas estas tres expresiones, encuentre el LCM:

1. 4 x 2 y 2
2. 6 xy
3. 10 xy 2

Primer paso:

Escribe los factores para cada expresión en factorización prima y cuenta con qué frecuencia ocurre cada factor.

Expresión 1: 4 x 2 y 2 = (2) (2) ( x ) ( x ) ( y ) ( y )
La factorización prima de 4 = (2) (2).

• 2 ocurre dos veces.
• La variable x ocurre dos veces.
• La variable y ocurre dos veces.

Expresión 2: 6 x y = (2) (3) ( x ) ( y )
La factorización prima de 6 = (2) (3)

• 2 ocurre una vez.
• 3 ocurre una vez.
• La variable x ocurre una vez.
• La variable y ocurre una vez.

Expresión 3: 10 xy 2 = (2) (5) ( x ) ( y ) ( y )
La factorización prima de 10 = (2) (5)

• 2 ocurre una vez.
• 5 ocurre una vez.
• La variable x ocurre una vez.
• La variable y ocurre dos veces.

Segundo paso:

Ahora, identifique la ocurrencia más frecuente de cada factor.

De las expresiones dadas en el Ejemplo 1:

• El 2 ocurre más en la Expresión 1.
• El 3 aparece en la Expresión 2 una vez y cero en las otras expresiones; entonces, el 3 ocurre más en la Expresión 2.
• El 5 aparece en la Expresión 3 una vez y cero en las otras expresiones; entonces, el 5 ocurre más en la Expresión 3.
• La variable x ocurre más en la Expresión 1.
• La variable y aparece más en las Expresiones 1 y 3, lo que provoca un empate, por lo que podemos elegir la Expresión 1 o 3. Elija la Expresión 3.

Tercer paso:

Resalte en negrita todos los factores que ocurren con mayor frecuencia.

Expresión 1: 4 x 2 y 2 = (2) (2) ( x ) ( x ) ( y ) ( y )

Expresión 2: 6 x y = (2) (3) ( x ) ( y )

Expresión 3: 10 xy 2 = (2) (5) ( x ) ( y ) ( Y )

Luego, escriba los factores resaltados y busque el producto, que será el LCM:

(2) (2) (3) (5) ( x ) ( x ) ( y ) ( y ) = 60 x 2 y 2 es el MCM.

Ejemplo 2

Dadas estas tres expresiones, encuentre el LCM:

1. 4 a 2 c 2
2. 15 a 5 c 7
3. 16 a c

Primer paso:

Nuestras variables en esta ocasión son una y c . Escribe los factores para cada expresión en factorización prima y cuenta con qué frecuencia ocurre cada factor.

Expresión 1: 4 a 2 c 2 = (2) (2) ( a ) ( a ) ( c ) ( c )
La factorización prima de 4 = (2) (2).

• 2 ocurre dos veces.
• La variable a ocurre dos veces.
• La variable c ocurre dos veces.

Expresión 2:15 a 5 c 7 = (3) (5) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c )
La factorización prima de 15 = (3) (5)

• 3 ocurre una vez.
• 5 ocurre una vez.
• La variable a ocurre cinco veces.
• La variable c ocurre siete veces.

Expresión 3:16 a c = (2) (2) (2) (2) ( a ) ( c )
La factorización prima de 16 = (2) (2) (2) (2)

• 2 ocurre cuatro veces.
• La variable a ocurre una vez.
• La variable c ocurre una vez.

Segundo paso:

Ahora, identifique la ocurrencia más frecuente de cada factor.

De las expresiones dadas en el Ejemplo 2:

• El 2 ocurre más en la Expresión 3.
• El 3 aparece en la Expresión 2 una vez y cero en las otras expresiones; entonces, el 3 ocurre más en la Expresión 2.
• El 5 aparece en la Expresión 2 una vez y cero en las otras expresiones; entonces, el 5 ocurre más en la Expresión 2.
• La variable a ocurre más en la expresión 2.
• La variable c ocurre más en la Expresión 2.

Tercer paso:

Resalte todos los factores que ocurren con mayor frecuencia.

Expresión 1: 4 a 2 c 2 = (2) (2) ( a ) ( a ) ( c ) ( c )

Expresión 2:15 a 5 c 7 = (3) (5) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c )

Expresión 3:16 a c = (2) (2) (2) (2) ( a ) ( c )

Luego, escriba los factores resaltados y busque el producto, que será el LCM:

(2) (2) (2) (2) (3) (5) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) = 240 a 5 c 7 es nuestro MCM.

Ejemplo 3

Teniendo en cuenta estas cuatro expresiones con variables a , b , y c , calcular el mcm:

1. 32 a 2 b 4 c 2 ,
2. 12 a 5 c 5
3. 81 a c
4. 100 un 3 b 2 c 3

Primer paso:

Escribe los factores para cada expresión en factorización prima y cuenta con qué frecuencia ocurre cada factor.

Expresión 1:32 a 2 b 4 c 2 = (2) (2) (2) (2) (2) ( a ) ( a ) ( b ) ( b ) ( b ) ( b ) ( c ) ( c )
La factorización prima de 32 = (2) (2) (2) (2) (2)

• 2 ocurre cinco veces.
• La variable a ocurre dos veces.
• La variable b ocurre cuatro veces.
• La variable c ocurre dos veces.

Expresión 2:12 a 5 c 5 = (2) (2) (3) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c )
El primo factorización de 12 = (2) (2) (3).

• 2 ocurre dos veces.
• 3 ocurre una vez.
• La variable a ocurre cinco veces.
• La variable c ocurre cinco veces.

Expresión 3:81 a c = (3) (3) (3) (3) ( a ) ( c )
La factorización prima de 81 = (3) (3) (3) (3).

• 3 ocurre cuatro veces.
• La variable a ocurre una vez.
• La variable c ocurre una vez.

Expresión 4: 100 a 3 b 2 c 3 = (2) (2) (5) (5) ( a ) ( a ) ( a ) ( b ) ( b ) ( c ) ( c ) ( c )
La factorización prima de 100 = (2) (2) (5) (5).

• 2 ocurre dos veces.
• 5 ocurre dos veces.
• La variable a ocurre tres veces.
• La variable b ocurre dos veces.
• La variable c ocurre tres veces.

Segundo paso:

Ahora, identifique la ocurrencia más frecuente de cada factor.

De las expresiones dadas en el Ejemplo 3:

• El 2 ocurre más en la Expresión 1.
• El 3 ocurre más en la Expresión 3.
• El 5 ocurre en la Expresión 4 dos veces y cero veces en las otras expresiones; entonces, el 5 ocurre más en la Expresión 4.
• La variable a ocurre más en la expresión 2.
• La variable b ocurre más en la Expresión 1.
• La variable c ocurre más en la Expresión 2.

Tercer paso:

Resalte todos los factores más frecuentes.

Expresión 1:32 a 2 b 4 c 2 = (2) (2) (2) (2) (2) ( a ) ( a ) ( b ) ( b ) ( b ) ( b ) ( c ) ( c )

Expresión 2:12 a 5 c 5 = (2) (2) (3) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c )

Expresión 3:81 a c = (3) (3) (3) (3) ( a ) ( c )

Expresión 4: 100 a 3 b 2 c 3 = (2) (2) (5) (5) ( a ) ( a ) ( a ) ( b ) ( b ) ( c ) ( c ) ( c )

Luego, escriba los factores resaltados y busque el producto, que será el LCM:

(2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (5) (5) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( b ) ( b ) ( b ) ( b ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) = 64,800 a 5 b 4 c 5 es el MCM.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió cómo encontrar el MCM , o mínimo común múltiplo , para expresiones siguiendo tres pasos:

1. Escribe los factores para cada expresión en factorización prima y cuenta con qué frecuencia ocurre cada factor.
2. Identifique la ocurrencia más frecuente de cada factor.
3. Resalte todos los factores que ocurren con mayor frecuencia y luego busque el producto de los factores resaltados. El producto es el LCM.

¡Felicidades! Ahora conoce los pasos para encontrar el MCM de expresiones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador