Pasos para resolver el problema
Antes de pasar a los pasos para encontrar la inversa de una matriz 4×4, hagamos una revisión rápida de algunas definiciones y propiedades. Una matriz es una matriz de números. Una un x b matriz tiene unas filas y b columnas. Estamos trabajando con una matriz de 4×4, por lo que tiene 4 filas y 4 columnas. En la siguiente imagen se muestra un ejemplo de una matriz R 4×4 .
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Una matriz n x n es una matriz con el mismo número de filas y columnas. La matriz de identidad es un n x n de la matriz que se representa con la letra I . Esta matriz tiene unos a lo largo de la diagonal y ceros en todas partes. Piense en la matriz identidad como el número 1. Si multiplica cualquier número por 1, obtendrá ese número original. De todos modos, para cualquier n x n de la matriz A , multiplicando A por la matriz de identidad que le dará una . En otras palabras, AI = IA = A .
La inversa de una matriz A es la matriz B , tal que AB = BA = I . No todas las matrices tienen una inversa, pero si una matriz tiene una inversa, esta es la propiedad que sigue. Es decir, si multiplicamos dos matrices en ambos sentidos, obtenemos la matriz identidad en ambos casos.
Para multiplicar dos matrices juntas, encuentre el producto escalar de las filas y columnas de las dos matrices multiplicando los números coincidentes y luego sumándolos. Por ejemplo, para encontrar el número de la primera fila y la primera columna de AB , tomar el producto escalar de la primera fila de la matriz A y la primera columna de la matriz B . Multiplique cada entrada correspondiente y luego sume todos los productos. Este número será igual a la entrada en la primera fila y la primera columna de la matriz AB . En general, la entrada en la i- ésima fila y la j- ésima columna de AB será igual al producto escalar de la i- ésima fila deA y la j ésima columna de B . La siguiente imagen muestra la multiplicación de matrices 2×2, pero el patrón es válido para multiplicar dos matrices n x n cualesquiera .
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Lo último que hay que revisar antes de encontrar la inversa de una matriz 4×4 son las operaciones de fila . Hay tres operaciones de fila que podemos realizar en una matriz para producir una matriz equivalente. El cambio de fila permite el intercambio de dos filas cualesquiera. La multiplicación de filas permite multiplicar cualquier fila por un escalar. (Tenga en cuenta que cuando trabajamos con matrices, llamamos escalares a los números regulares para no confundirlos con una matriz de 1×1). La última operación de fila es la suma de filas , que nos permite sumar dos filas y luego reemplazar una de esas filas con el resultado.
Ahora que hemos sacado los conceptos básicos del camino, hablemos sobre cómo encontrar la inversa de una matriz 4×4. En general, hay tres pasos básicos para encontrar la inversa de una matriz A de n x n . Estos pasos son válidos para una matriz 4×4.
Primero, configure las matrices A y I una al lado de la otra . Para hacer esto, configure una matriz con A en el lado izquierdo y la matriz de identidad en el lado derecho. Separa los dos con una línea recta. Luego use las operaciones de fila en la matriz para cambiar la matriz A en la matriz identidad . Es decir, use operaciones de fila en la matriz para que termine con una matriz I | B . La matriz B es la inversa de la matriz A . Después de completar el paso 2, tiene la matriz I | B y Bes el resultado de realizar todas las operaciones de filas necesarias para convertir una en I .
Veamos un ejemplo de esto. Suponga que queremos encontrar la inversa de la matriz R de 4×4 que mostramos en nuestro ejemplo inicial. El primer paso sería configurar la matriz R | Yo . A continuación, realizar operaciones de fila para toda la matriz al cambio R a I . Ahora tenemos la matriz I y nueva matriz S , que es la inversa de R .
La solución: Para encontrar la inversa de una matriz A de 4×4 , realice operaciones de fila en matrices A | I para obtener matrices I | B . B es la matriz inversa de A .
Comprobando su trabajo
Como hemos dicho, por definición, la inversa de una n x n de la matriz A es el n x n de la matriz B , tal que AB = BA = I . Por lo tanto, si encontramos que la inversa de una matriz A de 4×4 es B , entonces, para verificar nuestro trabajo, simplemente multiplicamos AB y BA . Si se obtiene la matriz de identidad en ambos casos, entonces sabemos que nuestro trabajo era correcta, y B es, de hecho, la inversa de A . Es importante tener en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo que es imperativo que verifiquemos ambosAB y BA .
Considere el ejemplo con la matriz R . Encontramos la inversa para ser la matriz S . Para comprobar que nuestro trabajo es correcto, multiplica RS y SR y verifica que obtenemos la matriz identidad en ambas instancias.
Vemos que RS = SR = 1 = I ; Por lo tanto, nuestro trabajo es correcta, y la matriz S es la inversa de la matriz R .
Resumen de la lección
Una matriz es una matriz de números cuyo tamaño se determina como a x b , donde a es el número de filas y b es el número de columnas. Las matrices de las mismas dimensiones se pueden multiplicar entre sí. La matriz de identidad es una matriz denominada I , donde hay unas a lo largo de la diagonal desde la parte superior izquierda a la inferior derecha. Puede realizar una serie de operaciones de fila en una matriz para producir una matriz que sea equivalente, incluido el cambio de filas , la multiplicación de filas y la suma de filas . Hallar la inversa de una matriz A de 4×4es cuestión de crear una nueva matriz B utilizando operaciones de fila de modo que se forme la matriz de identidad. Para comprobar esto, se multiplica la matriz original A veces la nueva matriz B y B veces A .
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