Cómo encontrar y aplicar la pendiente de una línea

¿Qué es una pendiente?

¿Con qué frecuencia piensas en las pistas? Quizás no tan a menudo. Pero son bastante importantes. Solía ​​vivir en San Francisco, donde andaba en bicicleta. Las pendientes son muy importantes allí. Son algo inevitables. Cuanto mayor o más empinada sea la pendiente, menos probable es que quiera tomar esa ruta. Quería encontrar la ruta más plana o la ruta con las pendientes más pequeñas.

Cuando trabajas con líneas, eso es todo, las pendientes son como diferentes tipos de colinas. Afortunadamente, no tienes que intentar pedalear con tu bicicleta por las pendientes de las líneas. Oficialmente, la pendiente se define como la pendiente de una línea. Usamos la letra m para indicar la pendiente de una línea.

¿Por qué m para pendiente? Ni siquiera hay una m en la palabra pendiente. Algunas personas dicen que es porque el verbo francés para ‘trepar’ es ‘monter’, pero eso puede ser un mito. Me gusta pensar que es porque la letra M es una aventura llena de pendientes. ¡Observe cómo tiene pendientes incorporadas! Pero me lo inventé.

Encontrar pendientes

Entonces, ¿cómo se encuentra la pendiente de una línea? Es posible que escuche que se hace referencia a la pendiente como «subida sobre carrera». Esa es una forma de decir que una pendiente es el cambio vertical de una línea dividido por su cambio horizontal. O cuánto se eleva sobre cuánto funciona.

La fórmula para encontrar una pendiente es m = (cambio) y / (cambio) x , que es igual a ( y sub2 – y sub1) / ( x sub2 – x sub1). Esos y sub1 y x sub1 solo simbolizan puntos en la línea. Para encontrar una pendiente, necesita dos puntos en la línea: ( x sub1, y sub1) y ( x sub2, y sub2). Como estamos hablando de líneas rectas, la pendiente es constante, por lo que no importa dónde estén esos puntos. Saber cómo cambia la línea verticalmente (o su elevación) sobre cómo cambia horizontalmente (o su recorrido) es todo lo que necesitamos.

A veces, se le darán dos puntos en una línea y se le pedirá que encuentre la pendiente. Si es así, simplemente inserte esos puntos en la fórmula. Solo recuerde: subir sobre la ejecución significa que el valor de y va hacia arriba, por lo que el eje y es el vertical.

Tipos de pendientes

Antes de probar la fórmula de la pendiente, veamos qué es realmente una pendiente. Aquí hay una línea con una pendiente de 1/2. Eso significa que sube 1 espacio por cada 2 que pasa. Ese es su aumento sobre la ejecución: 1 sobre 2.

Aquí hay uno con una pendiente de 2. Si recuerdas tus fracciones, sabes que 2 es solo 2/1, por lo que esta línea sube 2 por cada 1 que corre.

Esas pendientes fueron positivas. ¿Qué pasa con los negativos? Subir sobre correr no cambia. Simplemente vamos en la otra dirección. Aquí hay una línea con una pendiente de -2/3. Todavía sube 2 por cada 3 que corre. Simplemente funciona al revés.

Solo recuerde que las pendientes funcionan como tantas cosas que normalmente van de izquierda a derecha, desde las palabras en una página (al menos en inglés) hasta la barra de tiempo en este video. Entonces, las pendientes positivas se elevan de izquierda a derecha. Mientras tanto, las pendientes negativas se elevan de derecha a izquierda o hacia atrás.

Ah, y hay otros dos tipos de pistas. Mira esta línea. Si estuvieras cabalgando en esta colina, bueno, estaría bien. Las líneas horizontales tienen una pendiente de 0. ¿Por qué? Bueno, no está aumentando, por lo que el numerador de la fracción es 0. 0 dividido por cualquier cosa es 0.

Luego está este. Creo recordar una calle de San Francisco que se veía así. En cuanto a la pendiente, tendrá un 0 en la parte inferior de la fracción. ¿Qué pasa cuando divides por 0? Tu calculadora se enoja. Las líneas verticales tienen pendientes indefinidas.

Practica el uso de puntos

Intentemos encontrar algunas pendientes usando la fórmula de pendiente. Digamos que nos dicen que una línea pasa por (1, 2) y (3, 3). Cual es la pendiente? ¿Recuerdas la fórmula? m = ( y sub2 – y sub1) / ( x sub2 – x sub1). ¿Cuáles son nuestros valores y ? 2 y 3. ¿Y nuestros valores x ? 1 y 3. Vamos a conectarlos. Obtenemos m = (3 – 2) / (3 – 1). Eso es 1/2. Entonces nuestra pendiente es 1/2. En el gráfico, puede ver que sube 1 y corre 2.

Levántate y corre: suena como una película de zombies, ¿no? Y como en una película de zombies, no correrías hasta que se levantaran, ¿verdad? Siempre sube primero, luego corre. O, ya sabes, quédate y pelea. ¿Yo? Estoy corriendo.

Ok, aquí hay otro. Tenemos una línea que pasa por (-1, 3) y (-4, -2). No pierda de vista esos aspectos negativos. Conectémoslo a nuestra fórmula. m = (-2 – 3) / (- 4 – (-1)). Eso es -5 / -3, o 5/3. Entonces sube 5 y corre 3. Tenga en cuenta que a pesar de todos los aspectos negativos, esta sigue siendo una pendiente positiva.

Probemos uno más de estos. Tenemos dos puntos: (1, -2) y (-3, 1). Usando nuestra fórmula, obtenemos m = (1 – (-2)) / (- 3 – 1). Eso es 3 / -4 o -3/4. ¡Una pendiente negativa! Y se ve así. Sí, eso es negativo.

Debo señalar que no importa lo que hagas y sub1 y y sub2. Si probamos el último, invirtiendo el orden de los puntos, obtenemos m = (-2 – 1) / (1 – (-3)), que es -3/4. ¡La misma cosa! Así que no se preocupe por el orden. Solo concéntrate en levantarte sobre correr.

Pendientes de ecuaciones

¿Qué haces si no te dan dos puntos? ¿Qué pasa si, en cambio, tienes una ecuación de una línea? Quizás necesites encontrar la pendiente de 2 x + 3 y = 12. Bueno, podrías intentar encontrar dos puntos en la línea y luego usar la fórmula de la pendiente. Pero hay una forma más sencilla.

Solo necesita mover las cosas para que su línea esté en forma pendiente-intersección. La forma pendiente-intersección se ve así: y = mx + b . Como antes, m es la pendiente. b es la intersección con el eje y . Por eso se llama forma pendiente-intersección. ¿Por qué b es la intersección con el eje y ? Bueno, recuerde que la intersección con el eje y es donde x = 0. Si sustituimos 0 por x en y = mx + b , obtenemos la intersección con el eje y .

Entonces, en 2 x + 3 y = 12, solo obtenga y solo en un lado de la ecuación. Primero, reste 2 x de ambos lados para obtener 3 y = -2 x + 12. Luego divida ambos lados entre 3. Obtenemos y = -2/3 x + 4. Recuerde, la pendiente es el coeficiente de x . Entonces la pendiente de esta línea es -2/3.

Si te encuentras con una ecuación que ya se ve como y = mx + b , como y = 3/4 x – 5, ¡entonces tu trabajo está hecho por ti! Lo que sea que esté delante de esa x es tu pendiente.

Practica el uso de ecuaciones

Practiquemos la conversión de algunas ecuaciones. Aquí hay uno: y – 4 x = 2. Recuerda, necesitamos que se vea como y = mx + b . Así que solo suma 4 x a ambos lados para obtener y = 4 x + 2. ¡Eso es todo! Nuestra pendiente es 4, ¡aquí mismo!

¿Y este? x + 4 y = -12. Ok, primero restemos x de ambos lados. 4 y = – x – 12. Tenga en cuenta que podría haber hecho -12 – x , pero quiero que mi x aparezca primero para asegurarme de que coincido con la forma pendiente-intersección. A continuación, obtengamos esa y sola dividiendo ambos lados entre 4. Obtenemos y = -1/4 x – 3. ¿Nuestra pendiente? Aquí mismo. -1/4.

Ok, ¿qué tal uno más? 5 x – 4 y = 0. Espere. ¿Ves lo que es diferente? ¿Cómo puede nuestra b ser 0? Recuerde, b en y = mx + b es la intersección con el eje y . La intersección con el eje y es el lugar donde x = 0. Entonces, esta línea cruza las intersecciones con el eje x y el eje y al mismo tiempo, en (0, 0). Pero ¿qué pasa con la pendiente? Restemos 5 x de ambos lados para obtener -4 y = -5 x + 0 (realmente no necesitamos ese +0, pero mantengamoslo mientras practicamos la forma pendiente-intersección). Luego, divide por -4. Obtenemosy = 5/4 x + 0. ¿Y nuestra pendiente? 5/4. ¿Y adivina qué? Ahora incluso conocemos dos puntos en esta línea: (0, 0) y (4, 5).

Resumen de la lección

En resumen, la pendiente es solo la inclinación de una línea y está representada por m . Una pendiente positiva sube de izquierda a derecha, mientras que una pendiente negativa sube de derecha a izquierda. La pendiente de una línea horizontal es 0, mientras que una línea vertical tiene una pendiente indefinida. Podemos encontrar la pendiente de una línea cuando se nos dan dos puntos usando la fórmula de pendiente: m = (cambio) y / (cambio) x , o ( y sub2 – y sub1) / ( x sub2 – x sub1). Eso es simplemente levantarse sobre correr. Si nos dan una ecuación, simplemente reorganízala a la forma pendiente-intersección , que es y = mx +b , donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y . Y si alguna vez estás en San Francisco, ten cuidado con esas calles verticales. ¡Son peligrosos!

Los resultados del aprendizaje

Al final de esta lección, debería poder:

• Definir pendiente y recordar la forma pendiente-intersección
• Resolver problemas pidiéndote que encuentres la pendiente de una línea.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador