Cómo factorizar ecuaciones cuadráticas: FOIL en reversa

Revisión de tercer grado

Probablemente el concepto más fundamental del álgebra es el uso de una variable (como x ) para representar cualquier número que queramos. Eso significa que muchas de las cosas que hacemos en una clase de álgebra son en realidad cosas que aprendes en la escuela primaria; solo usamos variables en lugar de números específicos. Descubrí que una de las mejores formas de enseñar álgebra es primero revisar la habilidad con números específicos y luego aplicar esa misma habilidad a nuestro nuevo problema algebraico.

¿Qué es 3 * 5? Creo que necesito mi calculadora para este. ¡Ah! 15. Está bien. Otra pregunta de tercer grado, pero esta podría desconcertarlo porque necesitará recordar algo de vocabulario: factor 15. Entonces, la pregunta realmente es, ¿qué significa factorizar algo? Resulta que simplemente significa dividir ese número en lo que puedas multiplicar para obtenerlo. Entonces, cuando factorizo ​​15, simplemente lo convierto en 3 * 5. Eso significa que factorizar es simplemente multiplicar al revés. Un poco más de vocabulario antes de continuar aquí. En el enunciado 3 * 5 = 15, 3 y 5 se denominan factores de 15, mientras que la respuesta a un problema de multiplicación se llama producto .

Multiplicar binomios

Encuentra dos números que tengan un producto de 24 y una suma de 11

Entonces, volvamos a la clase de álgebra. Hagamos el mismo conjunto de problemas que acabamos de hacer, pero esta vez con variables. Entonces, en lugar de 3 * 5, ¿qué tal ( x + 3) ( x + 5)?

Hay muchas formas diferentes de multiplicar binomios así, pero la forma más conocida es el método FOIL. FOIL es un acrónimo que nos ayuda a recordar que multiplicar el f rimero términos, las juntas términos Uter, i NNER términos y, finalmente, las l términos ast. Una vez que lo hayamos hecho, podemos combinar nuestros términos semejantes para obtener nuestra respuesta, x 2 + 8 x + 15.

Siguiendo el mismo orden de preguntas de la revisión de tercer grado, lo siguiente que haré es esto: factor x 2 + 8 x + 15. Ahora sabemos que esto significa dividir nuestro número en dos cosas que puedo multiplicar para conseguirlo (sus dos factores). Como acabamos de hacer eso, sé que la respuesta será ( x + 3) ( x + 5), pero ¿y si no lo hubiéramos hecho? ¿Cómo sabríamos exactamente cómo dividir este trinomio en sus dos binomios separados?

Esta pregunta es de qué se trata la factorización de expresiones cuadráticas, y puede ser bastante complicada. Pero si miramos de cerca el ejemplo que acabamos de hacer, tratamos de encontrar algunos patrones y luego generalizamos esos patrones, podremos encontrar un método que lo ayudará a factorizar la mayoría de los trinomios cuadráticos que encontrará.

Factorizar expresiones cuadráticas

Veamos de cerca el último problema que acabamos de hacer. Dijimos que podríamos factorizar x 2 + 8 x + 15 como ( x + 3) ( x + 5). ¿Qué tienen que ver los números del trinomio (el producto) con los números de los dos binomios (los factores)? ¡Dos cosas, en realidad!

3 + 5 nos da 8, que era el coeficiente del término medio del trinomio. Y 3 * 5 nos da 15, la constante al final del trinomio. Esto significa que si puedes encontrar dos números que se suman al término medio de tu trinomio y se multiplican por la constante al final, esos serán los dos números en tu expresión factorizada.

Use FOIL para verificar su respuesta

Veamos si podemos aplicar esta idea a un problema diferente; tal vez factor x 2 + 11 x+ 24. Entonces, para que nuestro método funcione, necesitamos encontrar dos números que sumen el coeficiente medio (11) y que también se multipliquen a la constante al final (24). A veces, la respuesta será obvia, pero a veces será difícil de ver. Cuando es difícil de ver de inmediato, me gusta escribir todas las diferentes formas en que podemos multiplicar para obtener la constante al final y luego ver cuál de ellas se suma al número en el medio. Hagamos eso aquí para practicar. Siempre podremos hacer 1 vez el número. En este caso, (1 * 24). 24 es par, entonces 2 también entra en él, entonces (2 x 12), creo que 3, (3 x 8) y 4, (4 x 6), y eso es todo. Podría hacer los otros, (6 * 4), (0 * 3), pero esos son iguales, al revés, así que esos no importan. Entonces tenemos estas cuatro opciones, ¿cuáles suman 11? ¡Oye, 3 y 8!

Eso significa que x 2 + 11 x + 24 se factoriza en ( x + 3) ( x + 8). Si desea verificar su respuesta, puede multiplicarla rápidamente y asegurarse de que termine donde comenzamos. Si hacemos eso aquí, seguro, ¡todos estamos bien!

Un último ejemplo: factor 2 x 3 – 6 x 2 – 80 x . Este se ve un poco diferente. x 3 ? No sabemos cómo hacer eso. A veces, hay formas (tal vez las aprendas en una clase diferente), pero si ves eso en esta clase, probablemente haya algo complicado. Efectivamente, mirando cada término en nuestro trinomio aquí, hay una x en él. Ya sea una x 3 , una x 2 o simplemente una vieja x , hay una x en cada término, lo que significa que puedo dividirlo (o factorizarlo) de cada término haciendo la propiedad distributiva hacia atrás.

Cuando saco esa x de cada término, ahora puedo escribirlo al frente y dejar lo que me queda después de dividirlo en el interior de los paréntesis. Entonces, ya no tengo 2 x 3 , pero tengo 2 x 2 ; en lugar de 6 x 2 , tengo 6 x ; y en lugar de 80 x , solo tengo los viejos 80. Pero ahora está sucediendo otra cosa diferente. Hay un 2 delante de mi x 2 . En una lección posterior, veremos ejemplos en los que tendrás que lidiar con ese 2, pero también vale la pena verificar si puedo hacer lo mismo. ¿Puedo dividir ese 2 de cada término, como dividí la xs fuera? Efectivamente, nuevamente, vamos a poder hacer eso porque 2, 6 y 80 son todos números pares y, por lo tanto, divisibles por 2.

Haciendo la propiedad distributiva al revés y factorizando un 2 de cada uno, llevando el 2 al frente y luego poniendo lo que me queda entre paréntesis, me da 2 x ( x 2 – 3 x – 40). Ahora, aunque tengo un 2 x al frente, lo que hay entre paréntesis es algo que sabemos cómo hacer; es un trinomio, tiene 1 x 2 y puedo intentar usar mi patrón.

Ese patrón dice que necesito dos números que sumen -3 y se multipliquen hasta -40. Así que esta vez tenemos algunos aspectos negativos, pero eso en realidad no cambiará demasiado. Nuevamente, si los dos números no son obvios para mí de inmediato, puedo escribir todos los factores de 40, así. Pero como tenemos que multiplicar hasta -40, uno de los números tendrá que ser positivo y el otro negativo. Así que ahora buscamos un par de números que tengan una diferencia de 3, no una suma. ¿Qué conjunto de dos puedo restar para obtener -3? Parece que 5 – 8 bastarían. Como estoy haciendo un +5 menos un 8, los dos números que van a funcionar son +5 y -8.

El 2x delante del paréntesis fue factorizado del trinomio original

Eso significa que factorizo ​​la parte x 2 – 3 x – 40 como ( x + 5) ( x – 8), y el 2 x todavía está colgando en el frente, por lo que obtenemos 2 x ( x + 5) ( x – 8) como respuesta.

Los patrones de los que hemos hablado aquí te ayudarán a factorizar expresiones cuadráticas que tienen un coeficiente principal de 1. Como mencioné antes, a veces vamos a tener un 2 o 3 delante de las x 2 . Para esos, tendrás que usar un método diferente. Para conocer ese método, tendrá que consultar una lección futura.

Resumen de la lección

Cuando se le pide que factorice algo, es su trabajo dividir ese número en sus factores, los números que se multiplican por su número original. Esto significa que la factorización es básicamente una multiplicación a la inversa.

Si la expresión cuadrática que está factorizando tiene solo 1 x 2 al frente, solo necesita encontrar el par de números que se ajustan al siguiente patrón. Tienen que sumar el coeficiente medio, el número delante de las x . Ese par de números debe multiplicarse a la constante, el número al final.

Objetivos de la lección

Una vez que termine esta lección, podrá factorizar ecuaciones cuadráticas utilizando el método FOIL de multiplicar dos binomios al revés.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador