Los corredores toman su marca
Josh y Will corren tres carreras de 500 metros uno contra el otro. Cada carrera tiene un resultado diferente.
Carrera 1: Will tiene una ventaja de 20 metros, pero Josh corre 1 metro por segundo más rápido que Will. Josh termina pasando a Will después de 20 segundos y gana la carrera.
Carrera 2: Esta vez Josh le da a Will una ventaja de 20 metros. Ambos corren a una velocidad constante de 7 metros por segundo. Toda la carrera Will está exactamente 20 metros por delante de Josh. Josh nunca se acerca más.
Carrera 3: Josh y Will ambos comienzan la carrera en la marca de cero metros y corren 7 metros por segundo durante la totalidad de los 500 metros. Permanecen al lado de cada uno durante la carrera y terminan empatados.
Si graficara estos corredores en una cuadrícula con segundos en el eje x y metros en el eje y , las carreras 1, 2 y 3 le mostrarían las tres posibilidades diferentes al graficar ecuaciones lineales. La carrera 1 demuestra una gráfica consistente. La carrera 2 muestra una gráfica inconsistente. La carrera 3 es la gráfica dependiente. Esta lección definirá las diferentes posibilidades y le enseñará cómo graficarlas.
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La gráfica de ecuaciones lineales
La gráfica de una ecuación lineal siempre será una línea, de ahí el nombre ‘lineal’. Cuando grafica dos ecuaciones en la misma cuadrícula de coordenadas x, y , solo tienes tres posibilidades. Una posibilidad es que las líneas se crucen en un punto. Una segunda posibilidad es que nunca se crucen y la última posibilidad es que tengan todos los puntos en común; se cruzan en todos los puntos.
Hay varias formas de graficar una ecuación lineal. Dado que la representación gráfica de las tres posibilidades depende de conocer la pendiente y la intersección con el eje y ; poner las ecuaciones en la forma y = mx + b sería el enfoque más simple. Necesitará mover las partes de la ecuación hasta que tenga y aislado en un lado de la ecuación. Si la ecuación tiene la forma y = mx + b ; entonces el punto (0, b) es la intersección con el eje y y la m es la pendiente, lo que le indica cómo moverse desde la intersección con el eje y al graficar.
Por ejemplo, si tuvieras que graficar la ecuación y = 3 x +5 graficarías el punto (0,5) y moverías 3 hacia arriba y hacia la derecha un punto y trazarías otro punto. La línea pasaría por ambos puntos.
Ecuaciones consistentes
Mencionamos en el último párrafo que una posibilidad para las dos líneas es que se encuentren en un solo punto. Si ese es el caso, entonces estas dos líneas son ecuaciones consistentes . Las ecuaciones consistentes se intersecarán en un solo punto. La gráfica de estas dos ecuaciones se verá como una X. Solo hay un punto, el punto de intersección, que hará que ambas ecuaciones sean verdaderas. Si coloca la x y la y desde el punto de intersección en ambas ecuaciones, entonces la igualdad se mantendrá para ambas.
Si dos líneas se encuentran en un solo punto, tendrán diferentes valores para sus pendientes. Debes poner ambas ecuaciones en la forma y = mx + b . Si las dos ecuaciones tienen valores diferentes para m , las dos líneas se intersecarán exactamente en un punto.
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Ecuaciones inconsistentes
Si dos líneas no se cruzan en absoluto, se dice que las líneas son inconsistentes . Las ecuaciones inconsistentes tienen gráficos que nunca se cruzan. En este escenario, las dos líneas serán paralelas entre sí. Si dos líneas distintas se encuentran en el mismo plano y nunca se cruzan, entonces las dos líneas deben ser paralelas. Como no hay intersección, no hay puntos que hagan que ambas ecuaciones sean verdaderas.
Pon las dos ecuaciones en la forma y = mx + b . Si las dos ecuaciones tienen el mismo valor para m pero valores diferentes para b , entonces las ecuaciones serán paralelas (inconsistentes). Dos rectas que son paralelas tendrán la misma pendiente, pero tendrán diferentes intersecciones en y .
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Ecuaciones dependientes
Si las dos líneas comparten todos los puntos en común, se dice que las líneas son dependientes . Las ecuaciones dependientes se cruzan en todos los puntos. Estas líneas parecen estar una encima de la otra. Todos los puntos en ambas líneas harán que ambas ecuaciones sean verdaderas. Son esencialmente la misma línea. Las ecuaciones dependientes ocurren cuando ambas ecuaciones están en forma y = mx + b y se ven idénticas. Tienen la misma my la misma b .
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Resumen de la lección
Cuando se dibujan dos líneas en un plano de coordenadas x, y, hay tres posibilidades. Las líneas pueden cruzarse en un punto, creando líneas consistentes . Las líneas nunca pueden cruzarse (correr paralelas entre sí), creando líneas inconsistentes . La última posibilidad es que sean la misma línea (las líneas se colocarán una encima de la otra). Estas líneas tienen todos los puntos en común y se llaman líneas dependientes .
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