Rodrigo Ricardo

Cómo graficar ecuaciones lineales por sustitución

Publicado el 22 noviembre, 2020

¿Qué es una ecuación lineal?

La gráfica de una ecuación lineal es siempre una línea recta, lo que hace que sea realmente fácil de graficar si solo puede sustituir algunos valores en la fórmula. Es una especie de situación de ‘plug and play’, en la que conecta los valores y ve lo que sale. En esta lección, practicaremos la introducción de valores y veremos cómo se ven los gráficos resultantes.

Una ecuación lineal es una relación entre dos o más valores donde el gráfico es una línea recta. Cualquier variable en la ecuación tendrá un exponente de 1, lo que significa que el exponente no aparecerá en absoluto. Como la gráfica es una línea recta, puedes encontrar solo dos puntos, conectarlos con una línea recta y ¡tienes la gráfica!

La forma pendiente-intersección

Una forma verá ecuaciones lineales estarán en la forma pendiente-intersección, o y = mx + b , donde x y y son las variables y m y b son números que ayudan a definir la relación. Por ejemplo, si tiene la ecuación y = 2 x + 4, que significa que para este conjunto particular de x y Y pares, la pendiente es 2, lo que significa el gráfico subir o caer dos veces más rápido, ya que va hacia delante. La intersección y es 4, lo que significa que si x es 0, y terminará siendo 4 y la gráfica cruzará lay intercepción en y = 4.

Intentemos un par de sustituciones para la ecuación. Tal vez quieras empezar con x = 0, ya que es muy fácil.

Paso 1: y = 2 x + 4 (ecuación original)

Paso 2: y = 2 (0) + 4 (sustituye cero por x )

Paso 3: y = 4 (simplificar y resolver)

Entonces podemos ver que y es 4 cuando x = 0, por lo que nos da un punto para nuestra gráfica (0, 4). Ahora necesitamos otro. Elijamos uno un poco a la derecha, tal vez x = 3.

Paso 1: y = 2 x + 4 (ecuación original)

Paso 2: y = 2 (3) + 4 (sustituye 3 por x )

Paso 3: y = 10 (simplifica y resuelve)

Ahí está nuestro segundo punto (3, 10). Bien, grafiquemos.


Figura 1
imagen gráfica

Observe la Figura 1. Hay un eje x en el medio que va de izquierda a derecha y un eje y que sube y baja en el centro. Cada quinta línea de la cuadrícula está numerada para ayudarnos a realizar un seguimiento de dónde estamos. Los dos puntos que calculamos aparecen como puntos en el gráfico, y luego los dos puntos se conectaron y la línea se extendió hasta los bordes de nuestro gráfico. ¡Eso es todo al respecto!

Forma punto-pendiente

La forma punto-pendiente, ( yy 1 ) = m ( xx 1 ), puede ser un poco más confusa, pero es la misma idea. Por ejemplo, tomemos la ecuación ( y – 2) = 2 ( x + 2). Usaremos el mismo enfoque. Vamos a alimentarlo con algunos valores para x y veamos a dónde va y . Un valor favorito para x es 0, así que comencemos por ahí.

Paso 1: ( y – 2) = 2 ( x + 2) (ecuación original)

Paso 2: ( y – 2) = 2 (0 + 2) (sustituye 0 por x )

Paso 3: ( y – 2) = 4 (multiplica 2 por la suma de 0 y 2)

Paso 4: y = 6 (suma 2 a ambos lados)

Un par es (0, 6). Muy bien, démosle otro valor para x , quizás 5, y veamos a dónde nos lleva eso.

Paso 1: ( y – 2) = 2 ( x + 2) (ecuación original)

Paso 2: ( y – 2) = 2 (5 + 2) (sustituye 5 por x )

Paso 3: ( y – 2) = 14 (multiplica 2 por la suma de 5 y 2)

Paso 4: y = 16 (suma 2 a ambos lados)

16 es un número bastante grande, y solo dibujamos nuestro gráfico en unas 10 líneas de cuadrícula la última vez, por lo que podemos cambiar la forma del gráfico o elegir un número más pequeño. Por diversión, usemos x = -2 y veamos qué sucede.

Paso 1: ( y – 2) = 2 ( x + 2) (ecuación original)

Paso 2: ( y – 2) = 2 (-2 + 2) (sustituye -2 por x )

Paso 3: ( y – 2) = 0 (multiplica 2 por la suma de -2 y 2)

Paso 4: y = 2 (suma 2 a ambos lados)

Bueno, eso ciertamente encajará en nuestro gráfico, así que usemos (0, 6) y (-2, 2). Eche un vistazo a la Figura 2.


Figura 2
gráfico lineal

Simplificar y luego sustituir

A veces ayuda si simplificamos antes de comenzar el proceso de sustitución. Por ejemplo, digamos que tenemos la ecuación 3 x + 4 y – 7 = -2 x + 2 y +3. Podríamos simplemente introducir algunos valores y ejecutarlos, pero hagámoslo un poco más simple primero moviendo la y s a la izquierda del signo igual y todo lo demás a la derecha. De esa manera, cuando resolvemos para y todo lo demás estará donde pertenece.

Paso 1: 3 x + 4 y – 7 = -2 x + 2 y + 3 (ecuación original)

Paso 2: 4 y – 2 y = -2 x – 3 x + 3 + 7 (reorganizar: restar 2 y , restar 3 x y sumar 7 en ambos lados)

Paso 3: 2 y = -5 x + 10 (simplifica combinando términos semejantes)

Ahí, eso parece un poco más fácil de manejar. Bien, alimentemos nuestro famoso 0 por x y veamos qué obtenemos.

Paso 1: 2 y = -5 (0) + 10 (sustituye 0 por x )

Paso 2: 2 y = 10 (multiplica -5 por 0 y elimina el término 0 resultante)

Paso 3: y = 5 (divide ambos lados por 2)

El primer punto es (0, 5). Ahora alimentemos x = 2, y veamos a dónde nos lleva eso.

Paso 1: 2 y = -5 (2) + 10 (reemplace x con 2)

Paso 2: 2 y = 0 (múltiples -5 por 2, luego suma a 10)

Paso 3: y = 0 (divide ambos lados por 2)

El segundo punto es (2, 0). ¡Vamos a graficarlo! Muy bien, mira el gráfico de la Figura 3.


figura 3
gráfico lineal

Resumen de la lección

Cuando la gráfica de una ecuación es una línea recta, se dice que la ecuación es una ecuación lineal . Todas las variables que aparecen en la ecuación tendrán un exponente de 1, lo que significa que no aparecerán en absoluto. Usando la sustitución, puede trazar un par de puntos y conectar los puntos. Cuando sustituir valores en la x parte de la fórmula, puede resolver para la y valor y encontrar puntos para trazar en el gráfico con el fin de representar gráficamente la ecuación. Este método funciona para todos los diferentes tipos de ecuaciones, ya sea en forma tradicional o de punto pendiente. Simplificar la ecuación puede ayudar al introducir los valores. Graficar una ecuación lineal nunca debería ser un problema para usted, si sabe cómo trazar los puntos y conectarlos.

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