Cómo resolver ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial

Resolver para su variable, generalmente x , es bastante sencillo cuando su x puede aislarse fácilmente mediante suma, resta, multiplicación o división. Pero si su variable es un exponente, entonces se vuelve un poco más difícil de resolver. Estos tipos de problemas se denominan ecuaciones exponenciales . A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones exponenciales:

e x = 40

10 x + 2 = 30

e 2x – 7 e x + 10 = 0

A primera vista, puede parecer que aislar la x es una tarea difícil, si no imposible, de hacer. Es decir, hasta que te des cuenta de que puedes usar la función logarítmica para ayudarte a aislar la x . Veamos cómo puedes hacer eso.

Usando el registro

La función logarítmica es la inversa de una función exponencial. Tiene una propiedad muy útil que puede ayudarte a resolver tus ecuaciones exponenciales.

x = b y con la función y = log b x

Esto significa que si la variable que está tratando de resolver está en el exponente, entonces puede usar la función de logaritmo, así:

(log b ) ( x y ) = y log b x

Veamos si puedes usar esto para ayudarte a resolver esta ecuación exponencial:

10 x + 2 = 30

Aunque la x , la variable que está tratando de resolver, está en el exponente, seguirá usando técnicas de álgebra para resolver este problema. Esto significa tratar de aislar su variable lo mejor que pueda. Entonces, primero resta el 2 de ambos lados. Recuerde, lo que sea que haga en un lado, también debe hacerlo en el otro.

10 x + 2 – 2 = 30 – 2

10 x = 28

Ahora puedes tomar el logaritmo de ambos lados para ayudarte a sacar tu variable del exponente para poder resolverla.

log (10 x ) = 28

Ahora puede usar la propiedad útil de la función logaritmo para mover su x fuera del área del exponente.

(log b ) ( x y ) = y log b x

Aplicando esta propiedad, obtienes esto:

x log (10) = log (28)

Usando la regla (log b ) (x) = 1 cuando b = x , nuestro término log (10) se cancela y nos quedamos con …

x = registro (28)

x = 1,447

¡Y ya está! ¡Has resuelto el problema!

El registro natural

Para algunos problemas, es posible que vea un pequeño e . Este e se llama número de Euler y es aproximadamente igual a 2.71828. Si ve una ecuación exponencial con este número en ella, en lugar de usar la función logarítmica, usará la función logarítmica natural ln , ya que el logaritmo natural tiene una base de e . Puede utilizar el registro natural cuando sus bases coincidan. Entonces, si tienes una e , eso significa que tienes una base de e . Si ve un 10 o cualquier otro número, entonces su base es un 10 y la función de registro estándar funcionará.

El proceso de resolver una ecuación exponencial con una e en ella en lugar de un número de base 10 es el mismo proceso, excepto que ahora estás usando la función logarítmica natural. Intentemos resolver este problema:

e x = 40

Primero tomará el registro natural de ambos lados.

ln e x = ln (40)

Ahora puedes mover tu x fuera del área del exponente para obtener esto:

x ln e = ln (40)

Como sabemos que el logarit natural es base e , y (log b ) (x) = 1 cuando b = x , nuestro término ln (e) se cancela y nos quedamos con …

x = ln (40)

x = 3,689

¡Y ya está! Intentemos resolver otro problema.

Ejemplo

e 2x – 7 e x + 10 = 0

Este es un poco más interesante. En lugar de tener solo un término con la x en la variable, ahora tiene dos de ellos. Para resolver esto, deberá hacerlo de una manera diferente. Mirando más de cerca sus números, verá que realmente puede seguir adelante y factorizar su problema para ayudarlo a resolverlo, así:

e 2x – 7 e x + 10 = 0

( E x – 2) ( e x – 5) = 0

Una vez que haya factorizado, ahora puede seguir adelante y resolver cada uno de sus factores utilizando el método de registro como lo hizo antes.

e x – 2 = 0

e x = 2

ln e x = ln (2)

x = ln (2)

x = 0,69

Ésa es una solución. El otro es este:

e x – 5 = 0

e x = 5

ln e x = ln (5)

x = ln (5)

x = 1,609

¡Y ya está!

Resumen de la lección

Revisemos. Una ecuación exponencial es un problema con exponentes que generalmente tiene una variable en el área del exponente que tienes que resolver. Para resolver este tipo de problemas, utilizará la función logarítmica .

x = b y con la función es y = log b x , junto con esta propiedad: log b x y = y log b x

Esta propiedad solo se aplica cuando sus bases son las mismas. Utilice el registro estándar con una base de 10 cuando trabaje con números de base 10. Si ves una e , usa el logaritmo natural, el logaritmo con una base de e . Usarás los mismos métodos que usas para resolver todos tus otros problemas de álgebra con la adición de la función logarítmica que te ayudará a sacar la variable del exponente.