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Cómo resolver problemas funcionales que involucran el teorema de Pitágoras

Publicado el 22 noviembre, 2020

¿Qué es el teorema de Pitágoras?

Los triángulos rectángulos han sido durante mucho tiempo algunas de las formas más interesantes que ha estudiado la geometría. De hecho, a medida que avance en matemáticas, encontrará que hay una asignatura completa dedicada a estudiar las proporciones de sus ángulos y longitudes. Pero todavía no hemos llegado.

En cambio, solo nos interesa una razón que hace uso de los tres lados de un triángulo: el Teorema de Pitágoras . Llamada así por el filósofo griego Pitágoras, la teoría es bastante simple y directa. a ^ 2 + b ^ 2 será igual a c ^ 2. Dicho de otra manera, si cuadras los dos lados más cortos de un triángulo rectángulo y los sumas, terminarás con el cuadrado de la hipotenusa.

En esta lección, no solo aprenderemos más sobre cómo funciona, sino que veremos cómo podemos usarlo para encontrar tanto la hipotenusa de un triángulo rectángulo como la medida de uno de los lados más cortos.

¿Por qué funciona?

Pero primero, ¿por qué sabemos que el Teorema de Pitágoras incluso funciona? Para eso, necesitaremos algunos cubos. 50, para ser precisos. Haz tres piezas más grandes, una con 9 cubos como un cuadrado, otra con 15 piezas como un cuadrado y la última con 25 piezas como un cuadrado. ¿Los tienes? Bueno. Ahora haz un triángulo con ellos. Verás que el que tiene las 25 piezas hace la hipotenusa del triángulo, mientras que los otros dos forman los lados.

¿Y cuál es la medida de estos lados? 3, 4 y 5. Bien, entonces es un truco útil, pero ¿cómo sabemos con certeza que funciona? Para eso, necesitaremos más cubos. Si quieres seguir jugando con ellos, prueba estos triángulos, por ejemplo: 6, 8, 10; 7, 14, 15; 33, 44, 55; o, si te sientes realmente afortunado: 37, 684, 685. ¿Realmente quieres contar todos esos bloques? No lo creo, ¡así que confíe en mi palabra!

¿Cómo lo usamos?

Entonces, ahora que sabemos que funciona, ¿cómo lo usamos? En pocas palabras, simplemente ingrese los números que conocemos. Por ejemplo, probemos ese triángulo masivo de antes: el triángulo 37, 684, 685. Conéctelos a su fórmula de a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Eso significa 37 ^ 2 + 684 ^ 2 = 685 ^ 2. En caso de que sienta curiosidad, esos números resultan ser 1369 + 467,856 = 469,225. Esto suma 469,225, lo que significa que el triángulo en cuestión es definitivamente un triángulo rectángulo.

Entonces, ahora que lo hemos usado para demostrar que un triángulo es un triángulo rectángulo, trabajemos con un par de ejemplos que nos muestran cómo encontrar la hipotenusa o uno de los lados.

Encontrar la hipotenusa

Digamos que estabas tratando de encontrar la hipotenusa de un triángulo con lados de 16 y 63. Sabes que es un triángulo rectángulo, entonces, ¿cómo hallas la longitud de la hipotenusa? Conectemos lo que sabemos. Recuerde una y b representan los lados más cortos del triángulo, lo que significa un ^ 2 + b ^ 2 se convierte en 16 ^ 2 + 63 ^ 2 = c ^ 2. Eso se reduce a 256 + 3,969 = c ^ 2, o 4,225 = c ^ 2.

Para resolver c , simplemente sacamos la raíz cuadrada de ambos lados. La raíz cuadrada de c ^ 2 es simplemente c , mientras que la raíz cuadrada de 4.225 es 65. Eso significa que la hipotenusa de este triángulo tiene una longitud de 65.

Encontrar un lado más corto

Eso fue bastante sencillo, pero ¿qué pasa con las situaciones en las que tienes la longitud de la hipotenusa y uno de los lados? ¿Cómo encuentras al otro? En ese caso, simplemente resolvemos para a o b . No importa cuál, ya que puedes cambiar de opinión sobre si un lado es a o b , siempre que seas consistente.

Entonces, veamos un triángulo con una hipotenusa de 41 y un lado más corto de 9. Es un triángulo rectángulo, entonces, ¿cómo encontramos el lado que falta? Volvamos a nuestra fórmula: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Eso está configurado para resolver para c , pero sabemos que c . En su lugar, configurémoslo para resolver uno de los lados, en este caso a . Nuevamente, no importa si elige a o b .

Entonces, a ^ 2 = c ^ 2 – b ^ 2, ya que tuvimos que restar b ^ 2 de ambos lados para obtener a ^ 2 solo. Ahora ingrese sus números. c se convierte en 41 y b se convierte en 9. En la fórmula, eso significa que a ^ 2 = 41 ^ 2 – 9 ^ 2. Eso se simplifica a 1,681 – 81, o a ^ 2 = 1,600. Saca la raíz cuadrada y obtienes a = 40.

Tenga en cuenta que es posible que no siempre obtenga números tan limpios como estos. Eso no importa; Siempre que siga el procedimiento, ¡obtendrá la respuesta correcta!

Resumen de la lección

En esta lección, aprendimos sobre el Teorema de Pitágoras y también sobre cómo usarlo para encontrar la hipotenusa o el lado más corto de un triángulo rectángulo. Recuerda que el Teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los dos lados cortos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. A menudo, escribimos esto como a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, donde a y b son los dos lados cortos y c es la hipotenusa. Recuerda que solo funciona en triángulos rectángulos, pero se puede usar para encontrar el tercer lado siempre que se conozcan los otros dos lados.

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