Complemento de un conjunto en matemáticas: definición y ejemplos

Conjunto y subconjunto universal

Antes de definir el complemento de un conjunto, debemos definir el conjunto y subconjunto universales porque estos términos se usarán con frecuencia en esta lección. Un conjunto universal es el conjunto de todos los elementos que se están considerando para un problema o situación particular.

Digamos que se le pide que encuentre todos los enteros que satisfacen la desigualdad -3 < x <2. En este problema, el conjunto de enteros {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Es el conjunto universal. La respuesta, que es {-2, -1, 0, 1}, es un subconjunto del conjunto universal.

Complemento de un conjunto

Digamos que tenemos un conjunto A que es un subconjunto de un conjunto universal de U . El complemento de A es el conjunto de elementos del conjunto universal que no son elementos de A . En nuestro ejemplo anterior, el complemento de {-2, -1, 0, 1} es el conjunto que contiene todos los enteros que no satisfacen la desigualdad.

Podemos ilustrar esta definición con un nuevo ejemplo. Si nuestro conjunto universal son los estados de los Estados Unidos, entonces un posible subconjunto es el conjunto de los estados de Nueva Inglaterra, que se muestran aquí en rojo: A = {Connecticut, Maine, Massachusetts, New Hampshire, Rhode Island, Vermont}.

Los estados de Nueva Inglaterra (mostrados en rojo)

El complemento de A sería entonces el conjunto que contiene todos los demás estados que no forman parte de Nueva Inglaterra. Este conjunto contendría todos los estados que se muestran en blanco en el mapa adjunto de los Estados Unidos.

Hay varias formas de identificar un complemento de conjunto usando notación. Por ejemplo, se puede utilizar una marca prima. A veces se usa una c minúscula en superíndice , como se muestra aquí.

Figura 1

En esta lección, los conjuntos de complementos se escribirán en palabras, como se muestra aquí. El nombre del conjunto original tendrá una línea o un símbolo de subrayado encima.

Figura 2

Ejemplos

Comencemos con un ejemplo simple. Definiremos nuestro conjunto universal como U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, y definiremos nuestro subconjunto como E = {1, 3, 4}. El complemento de E es el conjunto de todos los elementos en U que no están en E . Por tanto, el complemento de E es {2, 5, 6, 7}.

Volvamos ahora al conjunto de números enteros como nuestro conjunto universal. Por lo tanto, nuestro conjunto universal ahora es U = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}. Entonces llamemos al conjunto G al conjunto de números naturales: G = {1, 2, 3, 4,…}.

El complemento de G es el conjunto de números enteros que no son números naturales. Podemos escribir este complemento de G como {…, -3, -2, -1, 0}. También podemos mostrar este complemento de G usando otra forma de notación de conjuntos, como se muestra aquí.

figura 3

El símbolo e curvo significa ‘es un elemento de’ y la línea vertical significa ‘tal que’. Por lo tanto, podemos leer esta notación como ‘el complemento de G son todos los elementos de x del conjunto universal (el conjunto de números enteros), de modo que x no es un elemento de G (los números naturales)’.

Diagrama de Venn

Vamos a mostrar ahora una representación gráfica de un complemento de un conjunto usando un diagrama de Venn. En primer lugar, un conjunto universal a menudo se muestra como una caja rectangular. Llamaremos A algún subconjunto del conjunto universal.

Figura 4

Aquí, el área dentro del rectángulo representa el conjunto universal, y el área de blanco en el interior del círculo representa los elementos de A . El área azul representa el complemento de A , o los elementos del conjunto universal que no están en una .

Operaciones en sets

Podemos crear algunas expresiones y ecuaciones que también representen complementos de un conjunto. Por ejemplo, si A es un subconjunto de T , entonces el complemento de A se puede expresar como T – A .

Para nuestro siguiente ejemplo, necesitamos establecer el hecho de que cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo. En otras palabras, podemos decir que un conjunto universal U es un subconjunto de sí mismo. Entonces, ¿cuál es el complemento de U o U – U ?

Bueno, sería un conjunto sin elementos o el conjunto vacío. Debemos tener cuidado aquí. Como estamos hablando de conjuntos, la respuesta no es 0. En cambio, tenemos un conjunto sin elementos. Podemos mostrar el conjunto vacío usando el símbolo Ø o usando un par de llaves, {}.

Operaciones en sets

Resumen de la lección

Si un conjunto A es un subconjunto de un conjunto universal , entonces todos los elementos que no están en A son los elementos del complemento de A . Todos los conjuntos tienen un complemento. Un conjunto y su complemento nunca comparten elementos comunes. Podemos verlo de otra manera. Si combinamos todos los elementos de un conjunto con todos los elementos de su complemento, habremos creado el conjunto universal del que se derivó el conjunto original.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, debería poder:

• Definir el subconjunto y el complemento del subconjunto de un conjunto universal
• Determinar el complemento de un subconjunto
• Recuerde la notación correcta utilizada para escribir un subconjunto y su complemento.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador