La tasa de cambio de Super C
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Considere por un minuto la trayectoria de Super C, la bala de cañón humana. Super C sale disparado de un cañón, tiene alguna trayectoria volando por el aire y eventualmente, con suerte, aterriza en una red. Cuando Super C sale disparado del cañón, tiene cierta velocidad vertical que lo lleva hacia arriba. Sabemos por la física que lo único que lo arrastra hacia abajo es la aceleración debida a la gravedad. Entonces, ¿qué significa todo esto?
Considere la altura de Super C en función del tiempo: h (t) = -16 t ^ 2 + 36 t . Esta es su tasa de cambio en la dirección ascendente. Sabemos que la derivada de su altura es su velocidad hacia arriba, y podemos calcular su velocidad usando nuestras reglas de derivadas: d / dt (h (t)) = d / dt (-16 t ^ 2 + 36 t ) es la derivada de su altura. Podemos dividir esto en -16 d / dt ( t ^ 2) + 36 d / dt ( t ). Nuestra derivada, que podemos llamar h` , es igual a -32 t + 36. Seamos específicos aquí y digamos que h (t)es su cambio de altura (pies) y h` es su cambio de altura (pies) / su cambio de tiempo (segundos). Entonces h` está en pies / s. Miremos gráficas para su cambio de altura y su velocidad ascendente.
Aceleración
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Sabemos que la gráfica de su cambio de altura es una parábola. Su velocidad ascendente es una línea recta. Super C comienza a subir a 36 pies / s. Su velocidad sigue cayendo y eventualmente se vuelve negativa; ahí es cuando comienza a caer hacia la Tierra. Pero espera un segundo; su velocidad ascendente cambia en función del tiempo. La función h` depende de t , entonces, ¿qué hay de mirar la tasa de cambio de su velocidad? Ésta es la derivada de su velocidad. Eso es como decir d / dt (ft / s), entonces, ¿qué hay en ft / s ^ 2? Bueno, esa es su aceleración; la tasa de cambio en su velocidad es su aceleración. ¿Cómo calculamos esto? Sabemos que h` = -32 t + 36. La derivada de h` esd / dt (h`) = d / dt (-32 t + 36). Esto es fácil de calcular: d / dt (-32 t ) + d / dt (36). Eso es solo -32 + 0 o -32.
Derivados de orden superior
Entonces, la derivada de h` , d / dt (h`) = -32. Ahora, cuando tomas la derivada de la derivada, tenemos un nombre especial para eso. Para h` = d / dt (h), lo llamamos la primera derivada . Podemos llamar a la siguiente h » = d / dt (h`) = d / dt (dh / dt) = d ^ 2 h / dt ^ 2. Esta es nuestra segunda derivada. Podemos poner todos estos juntos: h es la posición de Super C; h` , la primera derivada, es su velocidad y h« , la segunda derivada, es su aceleración.
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Segundas derivadas
Veamos otro ejemplo: f (x) = ( x – 5) ^ 3 – x ^ 2 + 2 x + 100. Esta podría ser su posición mientras viaja cuesta arriba. Si tiene f (x) , puede calcular la pendiente de la colina, f `(x) , la derivada de f (x) . Recordando mis reglas para las potencias, f `(x) = 3 ( x – 5) ^ 2 – 2 x + 2. Esta es mi primera derivada, o mi pendiente a lo largo de este camino. Puedo calcular mi segunda derivada, f » (x) , como d / dx (3 ( x – 5) ^ 2) – d / dx (2 x ) + d / dx(2). Usando la regla de la cadena, esto nos da f « (x) = d / dx (3 ( x – 5) ^ 2) d / dx ( x – 5) – 2 d / dx ( x ) + 0. Puedo simplificar esto como f « (x) = 3 (2 ( x – 5) – 2. Eso nos da f « (x) = 6 ( x – 5) – 2.
¿Qué es la Educación Superior? Definición e historia
Esta segunda derivada me dice cómo cambia la pendiente en función de x . Por lo tanto, si camina por esta pendiente, la dureza de la pendiente depende de la parte de la pendiente que esté subiendo. Esta segunda derivada te dirá si la pendiente se vuelve más difícil o más fácil.
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f » (x) f » (x)
Resumen de la lección
Si tienes alguna función, como x en función del tiempo, entonces x (t) es tu posición y x` (t) es tu velocidad. x » (t) es la tasa de cambio de su velocidad o su aceleración. A esto lo llamamos la segunda derivada y lo escribimos como d ^ 2 x / dt ^ 2.
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