Conjugados matemáticos: definición y explicación

Concepto conjugado

El término conjugado significa un par de cosas unidas. Estas dos cosas son exactamente iguales excepto por un par de características que son realmente opuestas entre sí. Si miras estas caras, notarás que son iguales excepto que tienen expresiones faciales opuestas: una tiene una sonrisa y la otra tiene el ceño fruncido.

¿Qué es un conjugado matemático?

Un conjugado matemático se forma cambiando el signo entre dos términos en un binomio. Por ejemplo, el conjugado de x + y es x – y . También podemos decir que x + y es un conjugado de x – y . En otras palabras, los dos binomios son conjugados entre sí. En lugar de sonreír y fruncir el ceño, los conjugados matemáticos tienen un signo positivo y un signo negativo, respectivamente.

Consideremos un ejemplo sencillo. El conjugado de 5 x + 9 es 5 x – 9.

Diferencia de cuadrados

Tomemos ahora los conjugados de x + 4 y x – 4 y multiplíquelos de la siguiente manera:

( x + 4) ( x – 4) = x ^ 2-4 x + 4 x – 16 = x ^ 2-16

Observe que dos términos, -4 x y 4 x , se cancelan entre sí durante el proceso de simplificación. Nos queda una diferencia de dos cuadrados. De hecho, la forma factorizada de una diferencia de dos cuadrados es siempre un par de conjugados. Este concepto generalmente se muestra en los libros de texto de álgebra como la ecuación de la Figura 1.

Figura 1

Conjugados con Radicales

Quizás la función más útil de un conjugado sea como herramienta al simplificar expresiones con radicales o raíces cuadradas. Primero multipliquemos los conjugados que se muestran en la Figura 2

Figura 2

Al multiplicar los conjugados en la Figura 2, podemos eliminar las expresiones radicales. De hecho, nuestra solución es una expresión racional, en este caso un número natural. Suele ser más fácil trabajar con números racionales que con números irracionales.

No podemos simplemente dar la vuelta y cambiar el valor de las expresiones para poder deshacernos de los radicales. Tiene que haber alguna razón lógica o práctica. Por ejemplo, multiplicar una expresión por su conjugado es muy útil cuando se simplifican determinadas fracciones.

Consideremos la fracción de la Figura 3. Esta fracción no está simplificada porque hay un radical en el denominador. Un radical en el numerador está bien, pero no en el denominador. Necesitamos eliminar la raíz cuadrada de 7 del denominador. Una razón de esta regla es que las fracciones suelen ser más fáciles de sumar y restar cuando el denominador es un número racional.

figura 3

Ahora sabemos que podríamos multiplicar el denominador por su conjugado para eliminar la raíz cuadrada de 7; sin embargo, eso cambiaría el valor de la fracción. Pero también debemos saber que cuando multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número o expresión, obtenemos una fracción que es equivalente a la fracción original. Por ejemplo, comencemos con la fracción 1/2. A continuación, multiplica el numerador y el denominador por 3:

(1 x 3) / (2 x 3) = 3/6.

Terminamos con una fracción que equivale a 1/2. Por lo tanto, en nuestro problema de la Figura 3, también debemos multiplicar el numerador por el conjugado del denominador como se muestra en la Figura 4.

Figura 4

Si completamos la multiplicación y posterior simplificación, nuestra solución será como se muestra en la Figura 5. Ya no hay un radical en el denominador, y esto es lo que queremos.

Figura 5

Avistamientos de conjugados matemáticos

Los conjugados matemáticos se mostrarán en varios temas de álgebra. Veamos la fórmula cuadrática.

Fórmula cuadrática

El numerador de la fórmula cuadrática es un par de conjugados. A veces, estos son conjugados complejos, pero eso está saliendo del enfoque de esta lección.

También podríamos ver conjugados en trigonometría; por ejemplo, el conjugado de 1 – cos x es 1 + cos x . El uso de conjugados en trigonometría es beneficioso cuando necesita evaluar y simplificar identidades trigonométricas. Una vez más, esto está saliendo del enfoque de esta lección, pero conocer el concepto de conjugados matemáticos puede ser de ayuda al aprender nuevos temas.

Resumen de la lección

Revisemos:

Los conjugados matemáticos son un concepto simple, pero son valiosos para simplificar algunos tipos de fracciones. Un par de conjugados es un par de binomios que son exactamente iguales excepto que los signos entre los términos son opuestos. Para crear un conjugado de un binomio, simplemente reescríbalo y cambie el signo del segundo término.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador