Conjuntos de soluciones de ecuaciones lineales como gráficos

Ecuaciones lineales y sus soluciones

Suponga que acaba de inscribirse en un desafío de fitness en el gimnasio. Las reglas son que obtienes 3 puntos por hora de ejercicio que haces en el período de tiempo asignado. Quien tenga más puntos al final del desafío, gana. Podemos representar su total acumulado de puntos con la siguiente ecuación:

y = 3 x

En matemáticas, llamamos a esto una ecuación lineal en dos variables. Una ecuación lineal en dos variables es una ecuación polinomial, con el máximo exponente de uno, que se puede poner en la forma y = mx + b . Una solución a una ecuación lineal en dos variables consta de valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera. Representamos soluciones con el par ordenado, ( x , y ). Por ejemplo, el par ordenado (4,12) es una solución a su ecuación de aptitud, porque si conectamos 4 para x y 12 para y , obtenemos un enunciado verdadero.

El conjunto de soluciones de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de todas las soluciones de la ecuación. Es decir, el conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen la ecuación. Hay varias formas de representar un conjunto de soluciones. Incluso podemos representar conjuntos de soluciones para ecuaciones lineales en dos variables en un gráfico, ¡y eso es exactamente lo que nos interesa hacer en esta lección!

Conjuntos de soluciones como gráficos

Pensemos en cómo representaríamos gráficamente un conjunto de soluciones para una ecuación lineal en dos variables. Hmm… bueno, dijimos que una solución es un par ordenado, ¡y podemos trazar pares ordenados en una gráfica! ¡Ah! Todo se está juntando ahora; el conjunto de soluciones de una ecuación lineal en dos variables se puede representar gráficamente trazando todas las soluciones de pares ordenados en un gráfico. Además, este gráfico constaría de todos los pares ordenados que satisfacen la ecuación, por lo que, en realidad, representar gráficamente el conjunto de soluciones de una ecuación lineal es exactamente lo mismo que graficar la ecuación en sí.

¡Perfecto! Para mostrar gráficamente un conjunto de soluciones, simplemente graficamos la ecuación lineal. Afortunadamente, este tipo de ecuaciones es uno de los más simples de graficar. Verá, la gráfica de una ecuación lineal es una línea. Debido a esto, todo lo que tenemos que hacer es trazar algunos puntos que satisfagan la ecuación y luego, básicamente, ¡conectar los puntos en línea recta!

Para representar el conjunto de solución de una ecuación lineal, y = mx + b , graficamos la ecuación usando los siguientes pasos:

1. Encuentra dos o más puntos que satisfagan la ecuación.
2. Trace esos puntos en un gráfico.
3. Conecta los puntos en línea recta.

¡No hay problema! Pruébelo con su ecuación de fitness. Primero, encontramos dos o más puntos que satisfacen la ecuación. Para hacer esto, simplemente conectamos un valor de x y resolvemos para y para obtener un punto de solución. Como ya sabemos que el punto (4,12) es una solución, busquemos dos más, digamos en x = 1 y en x = 7.

¡Excelente! Tenemos que (1,3), (4,12) y (7,21) satisfacen la ecuación. El siguiente paso es trazar estos puntos en un gráfico.

¡Casi termino! El último paso es conectar los puntos con una línea recta.

¡Muy fácil! Hemos representado gráficamente nuestra ecuación, y = 3 x , y al hacerlo, hemos representado gráficamente el conjunto de solución de la ecuación.

Otro ejemplo

¡Esta representación de conjuntos de soluciones gráficamente no es tan mala! Para solidificar realmente nuestro entendimiento, probemos con un ejemplo más. Suponga que está alquilando una lancha rápida y el costo del alquiler es tal que hay una tarifa base de $ 20 más $ 25 por hora. Por lo tanto, el costo del alquiler se puede representar mediante la siguiente ecuación lineal:

y = 25 x + 20

Donde x es el número de horas que alquila el barco. Si representamos la solución de esta ecuación gráficamente, tendremos una visualización de los diferentes costos de alquiler en función de por cuántas horas se alquila el barco. ¡Sigamos adelante y hagamos esto!

Primero, encontramos dos o más puntos que satisfacen la ecuación. Haremos esto con los valores x = 2, x = 4 y x = 6, pero puede usar cualquier valor que desee.

Obtenemos las soluciones (2,70), (4,120) y (6,170). Ahora, trazamos estos puntos en una gráfica.

Por último, conectamos los puntos en línea recta.

¡Simple como eso! ¡Terminamos! Tenemos la solución establecida para la ecuación en forma de gráfico.

Resumen de la lección

Una ecuación lineal en dos variables es una ecuación polinomial, con el máximo exponente de uno, que se puede poner en la forma y = mx + b . Una solución a una ecuación lineal en dos variables consta de valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera cuando las conectamos. El conjunto de solución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de todas las soluciones de la ecuación.

Resulta que la gráfica de una ecuación lineal es la misma que representar gráficamente el conjunto de soluciones de la ecuación lineal. Por lo tanto, podemos representar gráficamente la solución establecida en una ecuación lineal simplemente graficando la ecuación usando los siguientes pasos:

1. Encuentra dos o más puntos que satisfagan la ecuación.
2. Trace esos puntos en un gráfico.
3. Conecta los puntos en línea recta.

¡Eso es bastante fácil! ¡Qué conocimiento tan útil para ayudarnos a comprender mejor las ecuaciones lineales y sus soluciones!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador