Crear ecuaciones lineales equivalentes

Ecuaciones lineales

Antes de empezar a crear ecuaciones lineales equivalentes, hablemos primero sobre qué son las ecuaciones lineales y qué significa que sean equivalentes. Las ecuaciones lineales son ecuaciones algebraicas y consisten en términos que son constantes o constantes multiplicadas por una variable elevada a la primera potencia. Las gráficas de ecuaciones lineales son líneas. A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones lineales.

Ejemplos de ecuaciones lineales

Ejemplos de ecuaciones no lineales

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. Por ejemplo, x + 2 = 6 y 2 x = 8 son ecuaciones equivalentes, porque cuando resolvemos cada una de ellas de la siguiente manera, tienen el mismo conjunto de soluciones.

Vemos que ambas ecuaciones tienen el mismo conjunto de soluciones, a saber, x = 4. Por lo tanto, las dos ecuaciones son equivalentes. Analicemos ecuaciones lineales equivalentes y cómo crearlas.

Crear ecuaciones lineales equivalentes

Las ecuaciones equivalentes tienen la propiedad de que una ecuación se puede convertir en la otra ecuación mediante manipulación algebraica. Por ejemplo, considere nuestro ejemplo anterior de x + 2 = 6 y 2 x = 8.

Vemos que podemos manipular una ecuación para obtener la otra. Hay ciertas formas de manipular una ecuación sin cambiar su conjunto de soluciones. Estas manipulaciones no cambian el conjunto de soluciones, por lo que producen ecuaciones equivalentes. Estas manipulaciones son las siguientes.

1. Podemos simplificar ambos lados de una ecuación sin cambiar su conjunto de soluciones. Esto podría consistir en eliminar los paréntesis mediante la distribución o la combinación de términos similares. Por ejemplo, si tomamos la ecuación 3 ( x + 4) = 7 x – 5 + 3 y simplificamos ambos lados para obtener 3 x + 12 = 7 x – 2, el conjunto de soluciones sigue siendo el mismo. Por lo tanto, 3 ( x + 4) = 7 x – 5 + 3 y 3 x + 12 = 7 x – 2 son ecuaciones equivalentes.
2. Sumar o restar el mismo término de ambos lados de una ecuación no cambia el conjunto de soluciones de las ecuaciones. Por ejemplo, si tomamos 3 x + 12 = 7 x – 2 y restamos 3 x de ambos lados y sumamos 2 a ambos lados, obtenemos 14 = 4 x . Al hacer esto, no hemos cambiado el conjunto de soluciones, por lo que 3 x + 12 = 7 x – 2 y 14 = 4 x son ecuaciones equivalentes.
3. Multiplicar o dividir el mismo número de ambos lados de una ecuación lineal no cambia el conjunto de soluciones. Continuando con nuestro ejemplo, si dividimos ambos lados de 14 = 4 x entre 4, obtenemos 14/4 = x . Debido a que esto no cambia el conjunto de soluciones, 14 = 4 x y 14/4 = x son ecuaciones equivalentes.
4. Por último, podemos intercambiar los lados de una ecuación sin cambiar el conjunto de soluciones. Por ejemplo, 14/4 = x y x = 14/4 son ecuaciones equivalentes.

En 1-4 arriba, comenzamos con la ecuación 3 ( x + 4) = 7 x – 5 + 3, y la manipulamos en cada una de las formas enumeradas. En cada caso, no cambiamos el conjunto de soluciones, por lo que todas las siguientes ecuaciones son ecuaciones equivalentes.

3 ( x + 4) = 7 x – 5 + 3

3 x + 12 = 7 x – 2

14 = 4 x

14/4 = x

x = 14/4

Observe que al crear ecuaciones equivalentes, ¡en realidad hemos resuelto la ecuación original! Por eso es tan importante saber cómo crear ecuaciones equivalentes. Veamos algunos ejemplos para solidificar nuestra comprensión.

Ejemplos

Hemos visto dos formas de determinar si dos ecuaciones son equivalentes. Uno es resolver ambos y ver si tienen el mismo conjunto de soluciones. Otra es manipular una de las ecuaciones, sin cambiar su conjunto de soluciones, para ver si puede convertirla en la otra ecuación. Consideremos las dos ecuaciones 4 x + 5 = x – 1 y 3 (7 x + 6) – 5 = 12 x – 5. Podríamos resolver ambas ecuaciones para ver si tienen el mismo conjunto de soluciones.

Vemos que tienen el mismo conjunto de soluciones, x = -2, por lo que son equivalentes. También podríamos haber intentado manipular una de las ecuaciones para obtener la otra. Sin embargo, en este caso, resolver cada uno es la ruta más fácil.

Ahora considere las dos ecuaciones 3 x + 7 = 2 x – 5 y 3 x + 12 = 2 x . En este caso, podríamos resolver ambas ecuaciones para ver si sus soluciones son iguales, pero estas dos ecuaciones ya se ven muy similares. ¿Puedes ver algo que puedas hacer con 3 x + 12 = 2 x para obtener 3 x + 7 = 2 x – 5? Observe, el lado derecho de cada ecuación solo difiere en -5, así que intentemos restar 5 de ambos lados de 3 x + 12 = 2 x .

Esta es la otra ecuación. Vemos que en este escenario, era más fácil manipular una ecuación para que la otra mostrara que las dos ecuaciones son equivalentes.

Resumen de la lección

Podemos manipular una ecuación de cuatro formas diferentes sin cambiar su conjunto de soluciones. Por tanto, podemos crear ecuaciones equivalentes de cuatro formas diferentes.

Ahora estamos familiarizados con cómo crear ecuaciones lineales equivalentes y cómo determinar si dos ecuaciones son equivalentes. Ambos conceptos son extremadamente útiles para resolver ecuaciones lineales.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador