Cuadráticas: ecuaciones y gráficas

Definición

Ecuaciones cuadráticas: suenan como un gran problema; incluso el Mayor General las menciona en Piratas de Penzance: ‘Entiendo ecuaciones, tanto simples como cuadráticas,. . . . Entonces, ¿cuál es el problema?

Una ecuación cuadrática es cualquier ecuación en la que la variable se eleva a la segunda potencia (al cuadrado), pero no a ninguna potencia superior. Siempre se puede escribir en la forma ax ^ 2 + bx + c = 0, a la que nos referimos como forma estándar , aunque existen otras formas. B o c pueden ser igual a 0, pero a no puede ser 0, porque si lo fuera, no tendríamos x ^ 2 de qué hablar.

Forma estándar

Podrías ver una ecuación como 2x ^ 2 + 3x = 5, pero si simplemente restamos 5 de ambos lados, obtenemos 2x ^ 2 + 3x – 5 = 0, y volvemos a la forma estándar. Si vemos x ^ 2 = 9, eso se puede escribir como 1x ^ 2 + 0x – 9 = 0, y ahí estamos de nuevo. Si está acostumbrado a trabajar con ecuaciones en general, estará bien con estas. Para ponerlos en forma estándar, podemos: primero, combinar cualquier término similar; segundo, coloque todo en el lado izquierdo, dejando 0 en el lado derecho del signo =; tercero, coloque el término al cuadrado primero, luego el que tiene la variable que no es al cuadrado, si hay uno, y luego cualquier constante que pueda tener.

Forma gráfica y vértice

Cuando graficamos una ecuación cuadrática, necesitamos una variable ay además de una x, por lo que usamos y = ax ^ 2 + bx + c. También podríamos escribirlo como y = a (x + h) ^ 2 + k; verás por qué en un momento.

Comencemos con el tipo de ecuación cuadrática más simple: y = x ^ 2. Aquí hay un gráfico:

Gráfico cuadrático más simple

Ahora cambiemos un poco: ¿qué tal y = x ^ 2 + 1?

Agregar 1

¡Mira! Tiene la misma forma, pero todo se mueve hacia arriba un número. Bien, entonces, ¿qué pasa si regresamos y cambiamos y = x ^ 2 a y = 2x ^ 2?

Multiplica por 2

Este gráfico parece más delgado que el otro. Ok, una variación más para cubrir los conceptos básicos, y esta es un poco más complicada. Grafiquemos y = (x + 1) ^ 2, que sería lo mismo que y = x ^ 2 + 2x + 1:

Suma 1 antes de cuadrar

Ahora bien, este acaba de hacer que todo el gráfico se mueva en un número. Estas son las cosas básicas que le pueden pasar a la gráfica de una ecuación cuadrática. La forma se llama parábola y podemos agregar un número al resultado de nuestro cálculo para mover el gráfico hacia arriba o hacia abajo; podemos multiplicar x ^ 2 por un número para hacer la gráfica más delgada o más gruesa; podemos sumar un número a lo que estamos elevando al cuadrado para mover la parábola hacia la izquierda o hacia la derecha; o podemos hacer más de uno de estos, en combinación. Es por eso que, para fines gráficos, tenemos la forma de vérticede la ecuación cuadrática, y = a (x – h) ^ 2 + k. La a nos dice qué tan gordo o delgado es el gráfico; la h nos dice cuánto hacia la derecha o hacia la izquierda se mueve la parábola; la k nos dice cuánto se mueve hacia arriba y hacia abajo, todo desde la gráfica de parábola básica de y = x ^ 2. Observe que dice -h, porque si sumamos 1, la gráfica se mueve de modo que la parte inferior esté en -1 en lugar de 0. Ese punto inferior se llama vértice, y si a es un número negativo, la parábola se da la vuelta y la vértice es el punto superior, así:

Cambiar el signo

La otra característica de la gráfica de una ecuación cuadrática de la que hablamos a menudo es el eje de simetría . Ésta es una línea imaginaria que pasa por el medio de la parábola, arriba y abajo, y atraviesa el vértice. Si tuviéramos la gráfica impresa en papel y doblamos el papel a lo largo del eje de simetría, entonces las dos mitades de la parábola estarían juntas y todas emparejadas. ¡Ahí es donde entra la simetría!

Si nuestra ecuación cuadrática está en forma de vértice y = a (x – h) ^ 2 + k, entonces el vértice estará en el punto (h, k) y el eje de simetría será la línea vertical x = h. Si nuestra ecuación cuadrática tiene la forma y = ax ^ 2 + bx + c, resulta que el vértice será (-b / 2a, a (-b / 2a) ^ 2 + b (-b / 2a) + C). ¡Qué desordenado! Sin embargo, todo se reduce a que la coordenada x será -b / 2a y la coordenada y será la respuesta si toma la coordenada x y la usa para reemplazar la x en ax ^ 2 + bx + c. Probémoslo, digamos, y = 3x ^ 2 + 6x + 1:

Sumar 1 antes de elevar al cuadrado, multiplicar por 3, luego restar 2

Ok, entonces nuestro vértice está en (-1, -2). Veamos: en este caso, a = 3, b = 6 yc = 1. Entonces -b / 2a = -6/2 (3) = -6/6 = -1, así que eso es correcto. Entonces la coordenada y es y = 3 (-1) ^ 2 + 6 (-1) + 1 = 3 (1) + (-6) + 1 = 3-6 + 1 = -3 + 1 = -2. Bueno; eso funciona. Ahora, ¿significa esto que la forma del vértice es y = 3 (x – (-1)) ^ 2 + (-2) = 3 (x + 1) ^ 2 – 2? ¡Vamos a ver! 3 (x + 1) ^ 2 – 2 = 3 (x ^ 2 + 2x + 1) – 2 = 3x ^ 2 + 6x + 3 – 2 = 3x ^ 2 + 6x + 1. ¡Sí, eso también funciona! Podemos convertir de una forma a otra. La forma de vértice es más agradable para graficar y la forma estándar se parece más a lo que esperamos para el formato estándar de un polinomio. También tiene su utilidad para resolver ecuaciones cuadráticas.

Resumen

Esas ‘ecuaciones cuadráticas’ resultan ser, básicamente, ecuaciones que involucran x ^ 2, o alguna otra variable al cuadrado, pero no x ^ 3 ni nada por el estilo. Siempre podemos escribirlos en forma estándar , y si queremos graficarlos, también encontraremos útil la forma de vértice . Podemos escribir ecuaciones cuadráticas con gráficas que tienen el vértice arriba o abajo, podemos poner ese vértice en cualquier punto que queramos y podemos hacer la parábola más gruesa o más delgada.

Resumen de ecuaciones cuadráticas

Los resultados del aprendizaje

Una vez finalizada esta lección, los estudiantes deben tener la capacidad de:

• Definir ecuación cuadrática
• Contraste la forma estándar con la forma de vértice
• Describe una parábola
• Explica el eje de simetría

Rodrigo Ricardo Editor y fundador