Desigualdades polinomiales: definición y ejemplos

Desigualdades polinomiales

Suponga que está tratando de tomar un taxi en la ciudad. No tiene más de $ 20 para gastar y los taxis cobran una tarifa fija de $ 2.00 más $ 0.70 por milla. Si x representa la cantidad de millas que recorre en la cabina, entonces el costo del viaje en taxi sería 2 + 0,7 x . Es decir, la tarifa plana de $ 2.00 más $ 0.70 multiplicado por la cantidad de millas que recorre en la cabina. En esta situación, desea que el viaje en taxi cueste menos de los $ 20 que tiene que gastar. Puede representar esto matemáticamente de la siguiente manera:

2 + 0,7 x <20

Esta es una desigualdad polinomial . Las desigualdades polinómicas son desigualdades expresadas con un polinomio en un lado del símbolo de desigualdad y cero en el otro lado. A continuación se muestran algunos ejemplos de desigualdades polinomiales:

Ejemplos de desigualdades polinomiales

Estos tipos de desigualdades se pueden utilizar para responder preguntas sobre situaciones del mundo real, como el viaje en taxi de la ciudad. Suponga que desea saber cuántas millas puede viajar sin exceder su límite de gastos. Para averiguarlo, resuelve la desigualdad polinomial de x para obtener x <25,71. Por lo tanto, puede viajar en la cabina durante aproximadamente 25 millas sin exceder su límite de gastos.

Soluciones a las desigualdades polinomiales

La solución al ejemplo de la cabina es x <25,71, que es un intervalo o un conjunto de números. La solución de una desigualdad polinomial consta de intervalos que hacen que la desigualdad sea verdadera. En el ejemplo, x <25.71 le dice que si ingresa cualquier número que sea menor que 25.71 en la desigualdad, obtendrá una declaración verdadera. Por ejemplo, el número 10 es menor que 25,71, por lo que debería ser una afirmación verdadera cuando se conecte a su desigualdad.

1.) 2 + 0,7 (10) <20

2.) 2 + 7 <20

3.) 9 <20

Efectivamente, esta es una declaración verdadera porque 9 es menor que 20. Por otro lado, si ingresó un número mayor que 25.71, obtendrá una declaración falsa, ya que el número no cae en su solución de intervalo. Por ejemplo, el número 30 es mayor que 25,71, lo que daría lugar a una declaración falsa, como se muestra a continuación.

1.) 2 + 0,7 (30) <20

2.) 2 + 21 <20

3.) 23 <20

Como era de esperar, esta es una declaración falsa porque 23 no es menos que 20.

Resolver desigualdades polinomiales

Para resolver desigualdades polinomiales, siga los pasos a continuación:

1.) Manipula la desigualdad para que tengas un polinomio en un lado del símbolo de desigualdad y cero en el otro lado.

2.) Reemplaza el símbolo de desigualdad con un símbolo igual y resuelve la ecuación.

3.) Trace la solución del paso dos en una recta numérica.

4.) Tome un valor de prueba de cada uno de los intervalos, asegurándose de que no sean iguales a los puntos finales de los intervalos. Reemplaza los valores de prueba en la desigualdad original.

5.) Si el valor de la prueba conduce a un enunciado verdadero, entonces el intervalo del que proviene es la solución. Si el valor de la prueba conduce a una declaración falsa, entonces el intervalo del que proviene no es la solución.

Ahora, intente aplicar estos pasos a su viaje en taxi urbano.

1.) Para obtener cero en un lado de la desigualdad, reste 20 en ambos lados:

2 + 0,7 x <20

0,7 x – 18 <0

2.) Encuentre todos los valores de x que hagan 0.7 x – 18 = 0:

0,7 x – 18 = 0

0,7 x = 18

x = 18 / 0,7 = 25,71

3.) Grafique x = 25.71 en la recta numérica. En la imagen siguiente, verá que está dividido en dos intervalos: x <25,71 yx > 25,71.

Recta numérica dividida en intervalos

4.) Elija un número de prueba de cada uno de los intervalos, como 10 y 30. El número 10 proviene del intervalo x <25,71, y el número 30 proviene del intervalo x > 25,71.

5.) El número 10 constituye una afirmación verdadera cuando se conecta a la desigualdad, mientras que 30 constituye una afirmación falsa. Por tanto, la solución es el intervalo desde el que se originó 10: x <25,71.

Problema de práctica

Probemos con un ejemplo más. Suponga que es dueño de una empresa y desea determinar el precio de un producto que haría que sus ingresos fueran mayores que su costo utilizando la siguiente desigualdad:

45 – 9 p <5 p – p ^ 2

1.) Obtenga cero en un lado:

45 – 9 p <5 p – p ^ 2

p ^ 2 – 9 p – 5 p + 45 <0

p ^ 2-14 p + 45 <0

2.) Encuentre valores de p que hagan p ^ 2 – 14 p + 45 = 0:

p ^ 2-14 p + 45 = 0

( p – 9) ( p – 5) = 0

p = 9 o p = 5

3.) Grafique p = 9 yp = 5 en la recta numérica dividiéndolo en tres intervalos: p <5, 5 < p <9 yp > 9.

Recta numérica dividida en intervalos

4.) Tome un valor de prueba de cada intervalo y colóquelo en la desigualdad original.

De p <5, use p = 0

45 – 9 (0) <5 (0) – 0 ^ 2

45 <0 (Falso, este intervalo no está en su solución)

De 5 < p <9, use 7

45 – 9 (7) <5 (7) – 7 ^ 2

-18 <-14 (Verdadero, este intervalo está en su solución)

De p > 9, use 10

45 – 9 (10) <5 (10) – 10 ^ 2

-45 <-50 (Falso, este intervalo no está en su solución)

5. Según estos cálculos, la solución es 5 < p <9. Por lo tanto, cuando el precio de su producto está entre $ 5 y $ 9, sus ingresos son mayores que nuestro costo.

Resumen de la lección

Las desigualdades polinómicas son desigualdades formadas con un polinomio en un lado del símbolo de desigualdad y cero en el otro lado. Las soluciones a las desigualdades polinomiales son intervalos de valores, de modo que cualquier número en el intervalo hace un enunciado verdadero cuando se conecta a la desigualdad. Para resolver estas desigualdades, necesitará:

1.) Escribe una ecuación que muestre cero en un lado del símbolo de desigualdad.

2.) Sustituye el símbolo de igualdad por el símbolo de desigualdad, luego resuelve la ecuación.

3.) Trace su solución en una recta numérica.

4.) Elija un valor de prueba de cada uno de sus intervalos y conéctelos a su desigualdad original.

5.) Cuando el valor de la prueba conduce a una afirmación verdadera, el intervalo a partir del cual se originó es la respuesta; Las declaraciones falsas significan que el intervalo a partir del cual se originó el valor de prueba no es la solución.

Saber cómo trabajar con este tipo de desigualdades es una herramienta invaluable que puede usar para resolver problemas del mundo real que involucran intervalos de números.