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Aplicar desigualdades a triángulos

Publicado el 24 noviembre, 2020

Desigualdades y triángulos

Aquí hay un problema matemático que puede haber encontrado en la vida real (vea el video).

John camina hacia el gimnasio. John puede elegir una de las dos rutas a pie, ya sea la ruta naranja o la ruta púrpura. John llega tarde a su entrenador personal, así que quiere llegar al gimnasio lo más rápido posible. ¿Qué ruta debería tomar? Morado, ¿verdad? Pero, ¿cómo lo supiste, ya que no hay números en la imagen? ¿Cómo sabes que es más corto?

Probablemente porque usaste una desigualdad. No conoce la medida exacta de los dos caminos, pero puede ver que el camino naranja y el camino púrpura juntos forman un triángulo. El camino naranja representa los dos lados más cortos del triángulo y el camino violeta representa la hipotenusa. Sabes que la hipotenusa siempre es más corta que la suma de los catetos, por lo que la distancia púrpura siempre será más corta, independientemente de cuáles sean las distancias específicamente. Si John quería hacer ejercicio, debería haber tomado el camino naranja, pero para llegar a su entrenador lo más rápido posible, el morado es el camino a seguir.

Esta lección trata sobre problemas como ese: desigualdades con triángulos. En lugar de averiguar las longitudes de los lados o las medidas de los ángulos precisos, debes mirar dos ángulos o dos lados y decidir cuál es más grande y cuál es más pequeño, o si ambos son iguales. ¡Entremos en ello!

Problema 1

Complete el símbolo de desigualdad apropiado en el cuadro rojo para describir la relación entre el ángulo B y el ángulo C (vea el video).

Para resolver este, debes conocer las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. En cualquier triángulo, la longitud de cada lado es proporcional al tamaño del ángulo opuesto. Entonces, el ángulo más grande está opuesto al lado más grande y el ángulo más pequeño está opuesto al lado más pequeño.

Así es como puedes resolver este. Incluso si no conoce las medidas precisas de cada ángulo, no importa porque conoce las longitudes de los lados opuestos a ellos. Entonces sabes que el ángulo A debe ser el más grande porque está opuesto al lado más largo. El ángulo B está en el medio y el ángulo C es el más pequeño porque el ángulo B está opuesto al lado medio y el ángulo C es opuesto al lado más pequeño.

Por lo que llenaría en el símbolo mayor que en el cuadro, ya que el ángulo B es mayor que el ángulo C . No importa cuáles sean exactamente los ángulos, solo cuál es más grande.

Problema 2

¿Es hora de algo un poco más difícil? Este es tu segundo problema (ver video). Una vez más, su trabajo consiste en rellenar el cuadro para mostrar la relación correcta entre el ángulo A y el ángulo B .

Este es un poco más complicado. Vamos a empezar por averiguar el valor del ángulo A . Dado que los otros dos ángulos en este triángulo son 87 grados y 30 grados, y todos los ángulos en un triángulo suman 180 grados, sabemos que el ángulo A tiene que ser 180 – 87 – 30 o 63 grados.

Ahora vamos a ver el ángulo B . Cuando dos líneas se encuentran, los ángulos diagonales son equivalentes, por lo que sabemos que el ángulo C = 87. Eso significa que el ángulo B y el otro ángulo en este triángulo tienen que sumar 93 grados. El problema también nos dice que los dos ángulos son iguales. Entonces cada uno será igual a 93/2 o 46,5 grados.

Dado que el ángulo A es de 63 grados y el ángulo B es de 46,5 grados, el símbolo correcto es el símbolo mayor que; ángulo A es mayor que el ángulo B .

Problema 3

¡Último problema! ¿Estás listo?

Bien, analicemos esto. Aquí tienes dos triángulos similares (ver video). En triángulos similares, las medidas de los ángulos son las mismas y las longitudes de los lados son proporcionales. Sabemos que estos son triángulos similares porque la imagen nos dice que todos los ángulos del triángulo ACD son iguales que los ángulos del triángulo ABE .

Si estos triángulos son semejantes, entonces BE / CD = BA / CA . En este caso, sabemos que la relación entre el triángulo grande y el triángulo pequeño es 1: 1,25. Entonces, CD es 1,25 veces la longitud de BE , y CA es 1,25 el tamaño de BA .

También sabemos que BA es igual ax / 2, o 0,5 x . Si tomamos 1,25 veces que, obtenemos 1,25 * 0,5 x , que es igual a 0.625 x para toda la longitud de CA . Dado que CA es igual a 0.625 x , entonces CA es menor que la longitud de BE .

Resumen de la lección

En esta lección, trabajó en algunos problemas de práctica sobre desigualdades en triángulos. Repasamos conceptos como:

  • En cada triángulo, el lado más largo está opuesto al ángulo más grande y el lado más corto opuesto al ángulo más pequeño.
  • Todos los ángulos de un triángulo suman 180
  • En triángulos similares , los ángulos son iguales y los lados son proporcionales

Para trabajar en estos problemas, recuerde que en realidad no necesita saber los números exactos para cada ángulo. Incluso si no lo hace, puede usar reglas sobre triángulos para averiguar la relación entre dos ángulos o dos lados.

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