Desigualdades en triángulos

Algunos datos sobre los triángulos

Comencemos refrescándonos con algunos datos básicos sobre los triángulos.

Recuerda que dos ángulos son congruentes , o iguales, si sus medidas de grados son iguales y que las longitudes de dos lados son congruentes si los segmentos de recta tienen la misma longitud.

A continuación, repasemos un hecho básico sobre los triángulos, que probablemente fue una de las primeras cosas que aprendiste sobre los triángulos:

• La suma de los ángulos de un triángulo es siempre 180 °.

Bien, entonces ya lo sabes. ¿Qué significa esto en el contexto de lo que estamos hablando? Bueno, aunque podemos variar la medida en grados de un triángulo, sabemos que la medida en grados de cualquier ángulo de un triángulo, x °, debe satisfacer la desigualdad: 0 < x <180.

¿Qué tal las longitudes de los lados de un triángulo? ¿Hay algún lado que sea demasiado grande? ¡No! ¿Alguna vez hay un lado que sea DEMASIADO pequeño? Bueno, sí. Cuando hablamos de longitud, DEBE ser positivo, por lo que la longitud de un lado de cualquier triángulo siempre debe ser mayor que 0.

El teorema de la desigualdad del triángulo

Si bien ya sabemos que tanto las longitudes de los lados como las medidas en grados deben ser positivas, y que cada ángulo de cualquier triángulo debe medir menos de 180 °, en realidad existen algunas otras restricciones con respecto a las longitudes de los lados de los triángulos. Un teorema importante, típicamente conocido como el Teorema de la desigualdad del triángulo , establece lo siguiente:

• La suma de las longitudes de dos lados de cualquier triángulo debe ser mayor que la longitud del tercer lado.

¿Cómo se ve eso? Considere el siguiente triángulo:

¿Qué significa esto en el contexto de este triángulo? Dado que tenemos dos longitudes de lados, AB y BC, sabemos una relación entre AB, AC y BC, es decir, que la suma de la longitud de AB y la longitud de BC DEBE ser mayor que la longitud de AC. En términos de este triángulo, esto significa que la longitud de AC DEBE ser menor que 6 + 12. En otras palabras, AC <18.

Longitudes y ángulos de los lados del triángulo

Ahora, tal vez se pregunte, ¿qué pasa con la relación entre las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de un triángulo? Exploremos considerando primero los dos triángulos que se muestran a continuación:

En estos triángulos, AC es congruente con DF y BC es congruente con EF. También podemos ver que AB <4,5 DE, porque <6. Sabiendo esto, ¿qué podemos decir acerca de la relación entre X e Y ? Bueno, sabemos que x DEBE ser menor que y .

Ahora, es posible que ya hayas estado pensando, ¿qué pasa al revés? ¡Vamos a ver!

Aquí, está claro que AC es congruente con DF y BC es congruente con EF. Sin embargo, en esta figura, se nos brinda información diferente. Se nos da la medida en grados de los ángulos ACB y DFE, y como 79 <117, sabemos que la medida del ángulo ACB es menor que la medida del ángulo DFE. ¿Qué nos dice esto? Bueno, sabemos que AB DEBE ser más corto que DE y, por tanto, que p < q .

Después de examinar estos dos casos, estamos listos para sacar una conclusión general:

• Dado un triángulo con dos longitudes de lado fijas, la medida en grados del ángulo incluido por ellos depende de la longitud del tercer lado y viceversa.

En otras palabras, cuanto menor sea el ángulo entre los dos lados, menor será la longitud del tercer lado. Además, cuanto más corta sea la longitud del tercer lado, menor será el ángulo entre los dos lados fijos.

Tomemos un breve momento para analizar qué significa esto en el contexto del siguiente triángulo.

Si aumentamos el ángulo XYZ para que sea mayor que 100 °, entonces la longitud de XZ debe ser mayor que 20, y si disminuimos el ángulo XYZ para que sea menor que 100 °, entonces la longitud de XZ debe ser menor que 20. On Por otro lado, si disminuimos la longitud de XZ para que sea menor que 20, entonces la medida del ángulo XYZ debe ser menor que 100 °, y si aumentamos la longitud de XZ para que sea mayor que 20, entonces la medida del ángulo XYZ debe ser superior a 100 °.

El triángulo que acabamos de analizar recibió una longitud de lado aleatoria y una medida de grado aleatoria. Es importante comprender que estas relaciones serían ciertas si hubiéramos usado un triángulo con una medida de ángulo diferente y una longitud de lado diferente.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. El Teorema de la desigualdad del triángulo establece que “la suma de las longitudes de dos lados de cualquier triángulo debe ser mayor que la longitud del tercer lado”. Además, dado un triángulo con dos longitudes de lado fijas y un ángulo fijo entre los lados, la longitud del tercer lado y la medida del ángulo dependen una de la otra: cuanto más corta es la longitud del lado, más pequeño es el ángulo, y viceversa. ¿Es posible determinar EXACTAMENTE la información restante en lugar de las relaciones de desigualdad? La respuesta es SÍ, dependiendo de la información que nos den. Sin embargo, ¡tendremos que esperar hasta encontrarnos con trigonometría avanzada para aprender a hacer esto!