Desigualdades
Una desigualdad es simplemente una oración matemática que no está equilibrada. Piense en una balanza; una ecuación tendría cada lado de la escala perfectamente equilibrado, mientras que una desigualdad da como resultado que un lado de la escala sea más alto que el otro. En una ecuación, los lados están separados por un signo igual (=). En una desigualdad, los dos lados de la oración están separados por un signo de desigualdad , que indica qué lado es más grande a través de una referencia al primer lado (> mayor que o <menor que). Por ejemplo, 11 <1 / 2x + 1 indica que 11 es menor que el valor de 1 / 2x + 1.
Agregue un signo igual al símbolo de desigualdad o simplemente una línea debajo de él para indicar que los lados pueden ser iguales (11 <= x se lee 11 es menor o igual que x). Las desigualdades que incluyen un componente igual funcionan exactamente de la misma manera que las desigualdades puras.
Desigualdades de dos pasos con fracciones
La especificación de una desigualdad de dos pasos significa exactamente lo que parece; se necesitan dos pasos para resolver la desigualdad. Podemos, nuevamente, usar nuestro conocimiento de una ecuación de dos pasos para ayudarnos aquí. En una ecuación de dos pasos, necesitábamos hacer dos cosas para aislar la variable.
- Inicio: 11 = 1 / 2x + 1
- Primer paso: 11-1 = 1 / 2x + 1 -1; 10 = 1 / 2x
- Segundo paso: 10 (2) = 1 / 2x (2); 20 = x
Puede ver que el primer paso elimina la constante del lado con la variable, y el segundo paso aísla completamente la variable para resolver la ecuación. Las desigualdades funcionan igual.
Primer paso: suma lo inverso
El primer paso para resolver una desigualdad es sumar la inversa de la constante . ¡Recuerda agregarlo a ambos lados! Sumar lo inverso es simplemente hacer lo contrario de lo que ves. Ejemplos de inversos: ’10 y -10 ‘y’ -5 y 5 ‘. Este requisito no cambia si hay una constante fraccionaria en la desigualdad; aún agrega la inversa de la fracción a ambos lados (eliminándola del lado sin cambiar la proporción entre los lados).
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Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1: 12 <2x – 1/3. El primer paso es sumar 1/3 a ambos lados de la ecuación para obtener 12 + 1/3 <2x o 37/3 <2x.
Ejemplo 2: 3/5> -3x + 2. Reste 2 (sumar el inverso de 2 es lo mismo que restar 2) de ambos lados para obtener 3/5 – 2> -3x o -7/5> -3x.
Segundo paso: multiplica lo inverso
El segundo paso en el proceso es aislar completamente la variable multiplicando ambos lados de la desigualdad por el inverso del coeficiente (el número asociado a la variable). Multiplicar por el inverso en ambos lados cancela el coeficiente sin cambiar la proporción de valores en los lados.
Volvamos a esos ejemplos anteriores y comencemos desde donde lo dejamos.
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Ejemplo 1: 37/3 <2x. Para multiplicar por el inverso, necesitamos multiplicar ambos lados por 1/2 (anulando así el coeficiente porque 2 * 1/2 = 1). Obtenemos 37/3 * 1/2 <x o 37/6 <x.
Ejemplo 2: -7/5> -3x. Multiplica ambos lados por -1/3 para obtener -7/5 * -1/3 < x o 7/15 <x.
¿Notaste lo que sucedió con el signo de desigualdad en el ejemplo 2? Cuando multiplicas por un número negativo en ambos lados de la desigualdad, ¡debes voltear el signo! Recuerda, con las desigualdades, si multiplicas por un negativo, cambia la dirección del signo.
Paso opcional (uno)
Cuando se trata de fracciones, a veces es más fácil ocuparse de las fracciones primero y luego pasar al problema. Haga esto multiplicando cada término por el MCM (mínimo común múltiplo) de los términos. Esto convierte efectivamente todas las fracciones en números enteros sin cambiar la proporción de valores de un lado al otro.
Regresemos a los ejemplos y completemos este paso primero para ver cómo simplifica el problema.
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Ejemplo 1: 12 <2x – 1/3. La fracción 1/3 es la única fracción, por lo que el MCM es 3. Multiplicamos cada término por 3 para obtener 36 <6x – 1. Ahora no hay más fracciones y es más fácil trabajar con el problema.
Paso 1: Suma 1 a ambos lados: 37 <6x.
Paso 2: Dividir por 6 (multiplicar por el inverso es lo mismo que dividir): 37/6 <x. Obtuvimos la misma respuesta, pero no tuvimos que lidiar con sumar / restar / multiplicar fracciones.
Ejemplo 2: 3/5> -3x + 2. El MCM es 5, así que multiplique cada término por 5 para obtener 3> -15x + 10.
Paso 1: 3-10> -15x o -7> -15x.
Paso 2: -7 / -15 <x o 7/15 <x.
Problemas de práctica
Probemos algunos más juntos.
Problema de práctica 1: 1/2> -2x + 1/6
- Paso opcional: use el MCM (12 = 2 * 6) para deshacerse de las fracciones: 6> -24x + 2.
- Paso 1: Suma el inverso a ambos lados: 6-2> -24x + 2 – 2; 4> -24x.
- Paso 2: Multiplica el inverso en ambos lados y voltea el signo si es negativo: 4 / -24 <x.
-1/6 <x
Problema de práctica 2: 3/5 <1 / 2x – 5/6
- MCM = 30, 18 <15x – 25.
- Agrega 25 a ambos lados. 43 <15x.
- Multiplica por 1/15. 43/15 <x.
Resumen de la lección
Los pasos para resolver una desigualdad de dos pasos son idénticos a los de una ecuación.
Primero: Suma la inversa de la constante . Segundo: Multiplique el inverso del coeficiente .
Cuando se trata de fracciones, es opcional (y más fácil) borrar las fracciones multiplicando cada término por el MCM de los términos, lo que da como resultado todos los números enteros.
No olvide cambiar el signo de desigualdad si debe multiplicar por un negativo.
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