Diferenciación parcial: definición, reglas y aplicación

La definición de la derivada parcial

Si sabe cómo tomar una derivada, puede tomar derivadas parciales. Suponga que f es una función multivariable , es decir, una función que tiene más de una variable independiente, x , y , z , etc. La derivada parcial con respecto a una variable dada, digamos x , se define tomando la derivada de f como si era una función de x mientras consideraba las otras variables, y , z , etc., como constantes. Por ejemplo, si f es una función de x , y y z, entonces hay tres derivadas parciales diferentes para f : una con respecto a x , una con respecto a y , y una con respecto a z .

Las notaciones comunes para las derivadas parciales incluyen lo siguiente (aquí, estamos viendo una función de dos variables, pero las notaciones son similares para cualquier número de variables).

Notaciones para derivadas parciales

Un ejemplo básico

Encontremos las derivadas parciales de z = f ( x , y ) = x ^ 2 sin ( y ). Esta función tiene dos variables independientes, x y y , así que calcular dos derivadas parciales, uno con respecto a cada variable.

1. La derivada parcial de f con respecto ax es 2 x sin ( y ). Dado que estamos tratando y como una constante, sin ( y ) también cuenta como una constante. Por lo tanto, lo único que se puede hacer es tomar la derivada del factor x ^ 2 (que es de donde provienen los 2 x ).
2. La derivada parcial de f con respecto ay es x ^ 2 cos ( y ). Esta vez, tratamos x (y por tanto también x ^ 2) como una constante, y simplemente tomamos la derivada de sin ( y ).

¡Eso es todo lo que hay que hacer! Ahora exploremos para qué sirven las derivadas parciales.

Interpretación como tasa de cambio

Recuerde del cálculo, la derivada f ‘( x ) de una función de una sola variable y = f ( x ) mide la tasa a la que cambian los valores de y cuando x aumenta. Cuanto más abruptamente aumenta f en un punto dado x = a , mayor es el valor de f ‘( a ).

Entonces, ¿qué sucede cuando hay más de una variable? Veamos el caso de dos variables, z = f ( x , y ). La derivada parcial de f con respecto ax mide la tasa a la que los valores de z cambian cuando x aumenta mientras y se mantiene constante. De manera similar, la derivada parcial de f con respecto ay mide la tasa a la que los valores de z cambian cuando y aumenta mientras x se mantiene constante. ¿Confuso? Quizás un ejemplo concreto pueda aclarar.

Supongamos que eres un ávido excursionista y que actualmente estás caminando por un terreno accidentado con muchas colinas y valles. Llamemos al este la dirección x positiva y al norte la dirección y positiva . Ahora, cuando salga de su ubicación en algún punto ( a , b ), es posible que tenga que subir una colina mientras se dirige hacia el este. Esto correspondería a un valor positivo para la derivada parcial con respecto ax evaluado en el punto ( a , b ). Por otro lado, si en lugar de eso giró hacia el norte, es posible que pueda descender a un valle. Esto daría un valor negativo para la derivada parcial con respecto ay evaluado en ( a, b ). Las derivadas parciales son las herramientas matemáticas utilizadas para medir el aumento o la disminución con respecto a una dirección particular de viaje.

Terreno muy accidentado. Los valores de las derivadas parciales en cualquier punto dado indican si está subiendo una colina o bajando un valle.

Más ejemplos

Practiquemos un poco para encontrar las derivadas parciales de algunas funciones. Recuerde, todas las reglas y fórmulas habituales para encontrar derivadas todavía se aplican; lo único nuevo aquí es que una o más variables deben considerarse constantes.

Ejemplo 1

Encuentra las derivadas parciales con respecto a x e y para la función siguiente. Luego evalúe ambas derivadas parciales en el punto (2, -1).

Función por ejemplo 1

El trabajo se muestra a continuación. ¿Observa la notación de derivada parcial ∂ / ∂ x en la primera línea? Esto es simplemente para indicar que tomará la derivada parcial con respecto a x de lo que sigue entre paréntesis (y de manera similar para ∂ / ∂ y más abajo). Para mayor claridad, he puesto paréntesis alrededor de las partes de la función que no se consideran constantes en cada cálculo ( expresiones x cuando el parcial es con respecto a x , y expresiones y cuando el parcial es con respecto a y ).

Derivada parcial con respecto ax

Derivada parcial con respecto ay

Ahora que hemos calculado las derivadas parciales, podemos introducir el punto dado para completar el problema.

Valores de las derivadas parciales en el punto (2, -1)

Ejemplo 2

Encuentre ∂ f / ∂ z si f ( x , y , z ) = xyz + x ^ 5 y ^ 2 tan ( x + 3 y ).

Este problema solo pide el parcial con respecto a z , lo cual es una suerte porque solo el primer término, xyz , tiene una z . Esa monstruosidad de un segundo término, x ^ 5 y ^ 2 tan ( x + 3 y ), se considera una constante en este problema (por lo que su derivada es simplemente 0) porque la variable z no aparece en él.

∂ f / ∂ z = xy (1) + 0 = xy .

Resumen de la lección

La derivada parcial de una función multivariable con respecto a una variable dada, es solo la derivada habitual con respecto a esa variable, pero considerando todas las demás variables como constantes. ∂ f / ∂ x mide la tasa de cambio de f en la dirección de x , y de manera similar para ∂ f / ∂ y , ∂ f / ∂ z , etc.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador