Directamente proporcional: definición, ecuación y ejemplos

Relacionar variables

En nuestro mundo y en la vida cotidiana, muchas de las actividades humanas y sus resultados están relacionados. ¿Cómo podemos explicar numéricamente el impacto de nuestras acciones en los resultados? Echemos un vistazo a un ejemplo. Sam abrió recientemente una heladería. Su ganancia semanal depende directamente de la cantidad de copas de helado que vende durante la semana. En matemáticas, decimos que los ingresos de Sam son una función del número total de vasos de helado vendidos. La cantidad de dinero que gana Sam y el número de vasos vendidos son dos variables que están directamente relacionadas.

En matemáticas, dos o más variables pueden tener diferentes tipos de relaciones. Estas relaciones se denominan variaciones. Las tres variaciones principales que probablemente encontrará son la variación directa, la variación inversa y la variación conjunta.

En esta lección, nuestro enfoque estará completamente en la variación directa, también conocida como directamente proporcional. Tenemos tres objetivos que queremos cubrir en esta lección:

• Definir directamente proporcional
• Escribir una expresión algebraica que relacione directamente dos variables en problemas verbales.
• Resolver un problema verbal usando la expresión algebraica proporcional

Definición: directamente proporcional

Digamos que está construyendo aviones de diferentes tamaños. El costo de producción del avión aumenta a medida que el avión aumenta de tamaño. Los aviones de tamaño pequeño tendrán un costo bajo, los de tamaño mediano tendrán un costo medio y los aviones grandes tendrán un costo alto. Deje que el tamaño del avión igual por S y el coste igual a C . Observe que cuando S aumenta, C aumenta y cuando S disminuye, también lo hace C .

Las variaciones describen cómo cambia una cantidad en relación con otra. Cuando una cantidad aumenta constantemente o disminuye constantemente con respecto a otra cantidad, las dos cantidades se denominan directamente proporcionales entre sí. En el ejemplo del avión, diríamos que la cantidad C es directamente proporcional a S multiplicada por una constante ( k ). Podemos escribir esta fórmula como C = k S .

En la ecuación anterior, C es el costo de construcción, S es el tamaño del avión y k es un número constante también conocido como constante de proporcionalidad. Si tuviera que trazar el tamaño del plano en el eje x y el costo en el eje y , la pendiente de la línea será igual a la constante de proporcionalidad, k . Cuando dos cantidades se relacionan entre sí por proporcionalidad constante, obtenemos una función lineal. Veamos la gráfica del costo de un avión en función del tamaño.

Al observar la ecuación de la línea ( y = 0.5 x ), sabemos que la pendiente de la línea es 0.5. Significa que, en este ejemplo, la constante de proporcionalidad es 0.5. El costo de producción del avión es directamente proporcional al tamaño del avión multiplicado por la constante 0.5.

Ahora que entendemos lo que significa directamente proporcional, podemos ver algunos ejemplos para ver cómo podemos aplicar estas variaciones de relación para resolver diferentes tipos de problemas.

Variables proporcionales en química

Un caso en el que nos encontramos con cantidades que están directamente relacionadas es cuando se estudian las propiedades físicas de los gases en química. Si una muestra de gas se mantiene a una presión constante, entonces su volumen y temperatura son directamente proporcionales entre sí. Esta declaración también se conoce como ley de Charles en química y se escribe como V = k T , donde V es el volumen en litros, T es la temperatura absoluta en Kelvin y kes la constante de proporcionalidad. Esta expresión describe lo que sucede con el volumen del gas si cambia la temperatura. Si triplica la temperatura, entonces el volumen también se triplica. Hagamos un problema usando la ley de Charles para encontrar una constante de proporcionalidad para el oxígeno en condiciones dadas.

Problema: El volumen total de oxígeno gaseoso a una presión atmosférica de 1.00 y una temperatura de 294 Kelvin es de 800 litros.

1. Encuentra la constante de proporcionalidad
2. Escribe una expresión completa
3. Calcula el volumen si la temperatura aumenta a 300 Kelvin.

Solución:

1. Resolviendo para k en la ley de Charles nos da: k = V / T . k = 800 litros / 294 kelvin = 2,7 litros / kelvin
2. La expresión completa es: V = 2.7 T
3. Reemplazar la nueva temperatura en la expresión anterior nos dará el nuevo volumen del gas oxígeno:

V = (2,7 litros / Kelvin) * (300 Kelvin) = 810 litros

Esto significa que cuando la temperatura aumentó a 300 Kelvin, el volumen aumentó en 10 litros.

Variables proporcionales en geometría

También podemos encontrar cantidades en geometría que están directamente relacionadas. Por ejemplo, el área de un círculo está directamente relacionada con el cuadrado del radio del círculo. Podemos escribir esta expresión como se muestra:

Donde A es el área del círculo, pi es la constante de proporcionalidad y r es el radio del círculo.

Digamos que un círculo tiene un radio de 2 cm, pero luego el valor del radio se duplica. ¿Qué pasa con la zona?

Esto significa que si el radio del círculo se duplica, el área del círculo se cuadruplica en cantidad, lo que indica una relación de variación directa.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió la definición matemática del término directamente proporcional y cómo aplicarla para resolver problemas que relacionan dos cantidades. Ahora está listo para probar algunos problemas más que usan la proporcionalidad directa para relacionar cantidades.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador